給定集合 \(s\) ，設 \(\max(s)\) 為 \(s\) 中的最大值，\(\min(s)\) 為 \(s\) 中的最小值，則：
\[\max(s)=\sum_(-1)^\min(t)
\]這個東西叫 min-max容斥。
證明可以拿二項式反演證
題目有 \(n\) 種卡片，每一秒都有 \(p_i\) 的概率獲得一張第 \(i\) 種卡片，求每張卡片都至少有一張的期望時間。
記 \(\max(s)\) 為 \(s\) 中最後獲得的那種卡片第一次獲得的期望時間， \(\min(s)\) 為 \(s\) 中第乙個獲得的那種卡片第一次獲得的期望時間，仍然滿足：
\[\max(s)=\sum_(-1)^\min(t)
\]又因為 \(\min(t)=\frac 1p_i}\)
直接算就行了。
題目記 \(\max(s)\) 為 \(s\) 中最後被或到的元素第一次被或到的期望時間， \(\min(s)\) 為 \(s\) 中第乙個被或到的元素第一次被或到的期望時間，還是那個式子：
\[\max(s)=\sum_(-1)^\min(t)
\]但是這裡互相不是獨立的，怎麼算 \(\min(t)\) 呢
\[\min(t)=\frac 1 p_s}
\]也就是所有與 \(t\) 有交的集合 \(s\) 的概率之和
正難則反，求出所有與 \(t\) 交集為空的集合 \(s'\) 的概率之和，則它們的補集就是與 \(t\) 有交的集合 \(s\)。
求出 \(s'\) 的概率之和拿 \(1\) 再減掉就好啦。這個東西拿 \(fwt\) 或者 \(fmt\) 都闊以優化一哈。
\[\max(s,k)=\sum_(-1)^\cdot c(|t|-1,k-1)\cdot \min(t)
\]其中 \(\max(s,k)\) 表示 \(s\) 集合中第 \(k\) 大的元素。
題目全網就這一道 kth min-max 容斥orz
首先式子還是那個式子，但是這裡的 \(n\) 是 \(1000\)，不能 \(2^n\) 列舉子集。考慮遞推係數求解。
有 \(\min(t)=\frac m\)，其中 \(sum(t)=\sum\limits_p_i\)
設 \(f[i][j][x]\) 表示前 \(i\) 個元素，選的 \(sum(t)\) 為 \(j\)，且將 \(k=x\) 代入式子後前面那一大串係數的值。
這樣設狀態的原因就是把等價類劃分到了一起，並且容易遞推。
由組合數的性質 \(c_n^m=c_n^,c_n^m=c_^m+c_^\)
可以列出 \(dp\) 轉移 \(f[i][j][x]=f[i-1][j][x]+(f[i-1][j-p[i]][x-1]-f[i-1][j-p[i]][x])\)
可以拿組合數證。
min max容斥學習筆記
給出集合 s 可以通過某種奇特的方式將最小值和最大值互相轉化，甚至轉化為 k 大值。更為有用的是，它在期望意義下也是正確的。min s sum 1 max t max s sum 1 min t 證明和作用不再贅述，網上大把。min max 容斥不只可以搞出最值，甚至可以搞出 k 大值。受上面的啟發...
min max容斥學習筆記
min max 容斥是說乙個這樣的式子 max sum 1 min min sum 1 max 其中 min 表示 s 集合中的最小元素，max 表示最大元素。第乙個式子證明如下 max sum f t min 考慮第 x 1 大的元素被統計到的次數，我們可以列舉有多少個集合的最小值為第 x 1 大...
Min Max 容斥的證明
這裡有 min max 容斥的證明以及唯一一道博主做過的例題.上個結論 min sum 1 max max sum 1 min 具體的證明其實很簡單.我們考慮證明其中乙個 以第乙個為例 另乙個可以用類似證法得到結論。咱直接考慮集合內元素不重的情況，因為相同大小我們強制規定他們之間存在大小關係就好了，...