動態規劃 揹包問題

一、01揹包

題目描述：01揹包是在n件物品取出若干件放在空間為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2……wn，與之相對應的價值為p1,p2……pn。求出獲得最大價值的方案。[注意：每種物品只能拿乙個。]

用二位陣列dp來記錄狀態，其中dp[i][j]表示的是從第一件物品開始向背包裡裝，當揹包最大空間為j且裝到第i件物品時，價值最大是多少。顯然，對於每個物品可以選擇裝或不裝~

遞推方程：

dp[0][j]=0;

dp[i+1][j]=dp[i][j](j
dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+p[i+1])(j>
=w[i])

根據遞推公式可得下表：

實現**如下：

memset(dp, 0, sizeof(dp));

for (int i = 1; i <= n; i++)}}

也可以優化成一維陣列，**如下

for (int i = 1; i <= n; i++)

}

#include #include #include using namespace std;

const int max = 1005;
int d[max], w[max], p[max];
int main()
return 0;
}

與01揹包的區別就是一種物品可以有無數多件。所以對於每種物品，可以選擇放0件，放1件，放n件……在不超過揹包重量的情況下……

遞推公式（複雜度o(nw^2)）

dp[0][j]=0;

dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k*w[i]]+k*p[i]);(k=0,1,2,...)(j>k*w[i])

通過觀察可發現dp[i][j]可以由dp[i][j-w[i]]推出。從而降低時間複雜度

實現**（時間複雜度o（nw））：

memset(dp, 0, sizeof(dp));

for (int i = 0; i < n; i++)
}

for (int i = 0; i < n; ++i) 

}printf("%d\n", dp[w]);

動態規劃 揹包問題

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