我們先來看第一種情況：多個函式進行四則運算的導數。
我們假設\(u=u(x)\)和\(v=v(x)\)都在x點有導數，那麼它們進行加減乘除四則運算之後的結果的導數有如下性質：
\[\begin
\left[u(x) \pm v(x)\right]'&= u'(x) \pm v'(x) \\
\left[u(x)v(x)\right]' &= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \\
\left[\frac\right] &= \frac (v(x) \neq 0)
\end
\]我們來看一下證明過程，熟悉證明過程並不是炫技，除了能加深對公式的理解之外，更重要的是防止遺忘。即使以後真的不記得公式的細節了，也可以臨時推導一下，這是學演算法和數學很重要的技巧。
我們先來看第乙個，第乙個很容易證明，我們直接套一下導數的公式即可：
\[\begin
\left[u(x) \pm v(x) \right]'
&= \lim_ \frac \\
&= \lim_\frac \pm \lim_ \frac \\
&= u'(x) \pm v'(x)
\end
\]第二個式子同樣套用公式：
\[\begin
\left[u(x)v(x)\right]' &= \lim_ \frac \\
&= \lim_ \frac \\
&= \lim_ \frac \\
&= \lim_v(x+\delta x) \frac + \lim_u(x)\frac\\
&=v(x+\delta x)u'(x) + u(x)v'(x) \\
&=u(x)v'(x) + u'(x)v(x)
\end
\]最後是第三個式子的推導，也並不複雜：
\[\displaystyle
\begin
\left[\frac\right] &= \lim_\frac - \frac} \\
&= \lim_\frac \\
&=\lim_ \\
&= \lim_\frac \\
&=\lim_ \fracv(x)-\fracu(x)}\\
&=\frac
\end
\]推導完了四則運算的求導法則，我們再來看一下反函式的求導法則。
我們陷在了看結論，如果函式\(x=f(y)\)在區間\(i_y\)內單調、可導並且\(f'(x)!=0\)，那麼它的反函式\(y=f^(x)\)在區間\(i_x=\\)內也可導，那麼：
\[\left[f^(x)\right]'=\frac
\]關於這個結論的證明很簡單，因為\(x=f(y)\)在區間內單調、可導，所以它的反函式\(y=f^(x)\)存在，並且也單調且連續。
所以:\[\begin
\delta y=f^(x+\delta x)-f^x \neq 0 \\
\frac = \frac}=\frac
\end
\]由於\(y=f^(x)\)連續，\(\displaystyle\lim_\delta y=0\)，所以上式成立。
我們來看乙個例子：\(x=\sin y, y\in \left[-\frac, \frac \right]\)，則\(y=\arcsin x\)是它的反函式，根據上面的公式，我們可以得到：
\[(\arcsin x)'=\frac=\frac
\]由於\(\cos y= \sqrt = \sqrt\)，代入上式可以得到：
\[(\arcsin x)'=\frac}
\]利用同樣的方法，我們還可以求出其他反三角函式的導數，由於這些並不太常用，所以我們就不多介紹了，感興趣的同學可以自己利用導數的定義推導一下，我想應該也不難。
這是最後乙個法則，也是本篇文章的重點，因為經常用到。我們現在已經搞定了一些常見的函式，還搞定了常見函式加減乘除之後求導的結果，但是對於一些看起來比較複雜的函式，我們並不能一下寫出它們的導數。
比如說：\(\sin (x^2+3x)\)，比如\(\ln (3x -1)\)等等，這些函式基本上都可以確定是連續並且可導的，但是我們一下子並不能寫出它們的導數，而且要通過導數的定義推導也非常麻煩，對於這些導數就需要用到今天的重頭戲，也就是復合函式的求導法則了。
對於復合函式而言，擁有如下法則：如果函式\(u=g(x)\)在點x處可導，並且\(y=f(u)\)在點\(u=g(x)\)處也可導，那麼復合函式\(y=f[g(x)]\)在x處可導，它的導數為：
\[\frac=f'(u)\cdot g'(x)=\frac\cdot \frac
\]如果復合函式的數量更多也是一樣的，我們按照順序依次相乘即可。由於公式的形式像是一根鏈條一樣依次所以，復合函式求導法則也叫鏈式求導法則。在舉例之前，我們先來證明一下。
由於\(y=f(u)\)在點u處可導，因此
\[\displaystyle\lim_\frac = f'(u)
\]因為\(f'(u)\)存在，所以我們將它變形為：
\[\frac = f'(u) + a
\]其中a是\(\delta u \to 0\)時的無窮小，我們對兩邊同時乘上\(\delta u\)，可以得到：
\[\delta y = f'(u)\delta u + a\cdot \delta u
\]上式當中\(\delta u\)和a都是無窮小，所以當\(\delta u \to 0\)時，\(\delta y=0\)，我們對上式兩邊同時除以\(\delta x\)，得：
\[\displaystyle\frac=f'(u)\frac + a\cdot\frac
\]於是：
\[\displaystyle \lim_\frac=\lim_[f'(u)\frac+a\frac]
\]又根據\(u=g(x)\)在點x處可導，所以有：
\[\displaystyle \lim_\frac=g'(x)
\]我們代入，就可以得到：
\[\displaystyle \lim_\frac=f'(u)\cdot \frac=f'(u)\cdot g'(x)
\]其實我們都知道相比於公式的證明，公式的運用更加重要，下面我們就來看兩個例子，來鞏固一下這個鏈式求導法則：
\(y=\ln \sin 3x\)，求\(\frac\)
我們令\(u=3x, g=\sin u\)
所以：\[\begin
\frac&=\frac\cdot \frac\cdot\frac\\
&=\frac\cdot \cos u\cdot 3\\
&=3\frac \\
&=3 \cot 3x
\end
\]還記得我們之前推導線性回歸時候用到的均方差的公式嗎：
\[f(\theta) = \frac(\theta x-y)^2
\]我們來試著學以致用，求一下\(f(\theta)\)的導數，在機器學習當中，x和y都是樣本都是已知的引數，要求的是\(\theta\)，所以我們對\(\theta\)求導：
\[\begin
f'(\theta) &= \frac\cdot 2 \cdot (\theta x - y)\cdot x \\
&=\fracx^t(\theta x - y)
\end
\]這個結果其實就是之前我們說的梯度，梯度本來就是由導數計算得到的，所以理解了鏈式求導的公式，可以再回過頭看看之前線性回歸和梯度推導的公式，相信會有更深刻的體會。
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