設
v 為定義在數域
f上的向量空間，定義
v 上的線性函式是從 v到
f 的對映：f:
v→f，且滿足 ∀x
,y∈v
,k∈f
有：f(
x+y)
=f(x
)+f(
y),f
(ka)
=kf(
a)。現考慮
v 上所有線性函式（f:
v→f）的集合 v⋆
。對 ∀f
,g∈v
⋆,x∈
v,k∈
f ，可以在 v⋆
定義如下的標量乘法和加法（向量加法）：
在上述意義下，可以證明 v⋆
是域 f 上的向量空間，稱為
v的對偶空間。
最後，更準確的說，對偶空間裡的元素是「線性泛函」（linear functional），這是一種特殊的線性對映。
ei(e
j)=δ
ij={
1,0,
i=jotherwise
對偶空間中的向量稱為 covector，如性質一所說，covector 接受線性空間中的向量，輸出乙個標量；
空間正交基的定義 對偶空間 1 空間 基與對映
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