線性空間是屬於線性代數研究的物件。之所以也放在多元函式專題中，是為了主題的連續性。否則一會多元函式，一會線性代數，太亂了。更何況，數學的各個分支學科本就是相互滲透，融合。將各個學科刻意地孤立，除了讓人更加困惑，別無他用。我在學習數學時，常常遇到看不下去的情況。之所以看不下去，是因為預備知識掌握得不充分。再深究下去，就是沒有完整的數學知識體系。例如，如果我們對多元函式和線性代數沒有充分的認識，直接去學最優化的知識，往往只能一知半解，事倍功半。再比如，如果沒有紮實的最優化和概率論的基礎，要去學機器學習的知識，那也是緣木求魚，本末倒置。這也是我將機器學習的專題暫且擱置，轉而學習數學基礎的原因。機器學習的知識看得越多，疑惑就越多。疑惑多到一定程度，就再不能妄圖自欺欺人，蒙混過去了。
閒言少敘。線性空間在多元函式的意義是不言而喻的。多元函式中最重要的函式，就是線性變換。多元函式導數的定義，完全依賴於線性變換。而要學習線性變換，線性空間又是繞不開的主題。
既然線性空間是線性代數的研究物件，當然首先要從代數說起，方不辜負了「線性代數」這樣高大上的名字。然而，我並不想對代數學做系統的介紹。因為代數學比分析學要的燒腦得多了。以我淺薄的見識，還不足以介紹代數學專題。所以，對代數學，我一直是點到即止。
定義. 阿貝爾群（abelian group）.乙個非空集合g連同在g上定義的運算*被稱作是阿貝爾群，或可交換群，如果它們滿足：
上面的定義中，運算*可以是加法運算，或是乘法運算，或是其他的運算。當*是加法運算時，我們會把么元寫成0，而a的逆元寫成-a。當*是乘法運算時，我們會把么元寫成1，逆元寫成
例.假如f是乙個域，在它上面定義了加法運算(+)和乘法運算(
從上面我們可以知道，群是比域更「簡單」的代數系統。因為在群上只有乙個運算，而在域上需要定義兩個運算。可是群雖然「簡單」，但性質卻也並不算少。
嚴格來說，乙個集合不能算是乙個代數系統。乙個代數系統，必須是集合與運算，兩部分組成。所以，我們嚴格來說，應該將群記作乙個二元組，將域記作乙個三元組
則稱v是域f上的線性空間。
例.上面的定義很抽象，但卻是最嚴格的定義。在多元函式中，通常f取的是實數域r，而v是r的n維向量組成的集合。
注意，在這裡我們把向量的加法和實數域上的加法都記作+，又一次明知是錯而名之。
C 執行緒 第二線程方法
主要包括 執行緒阻塞，執行緒終止，執行緒鎖三方面。thread.sleep 4000 阻塞4s 輸出結果 兩次列印輸出間隔為 4秒。執行緒阻塞以毫秒為單位。sleep也支援timespan，將當前執行緒阻塞指定的時間。第一次看到msdn的解釋一下子沒有反應過來。這裡我們可以理解為 分別開啟三個執行緒...
二 線性回歸
我們開始吧！m 訓練集的樣本個數 x s 輸入變數 特徵 y s 輸出變數 特徵 x,y 乙個訓練樣本 x i y i 第i個訓練樣本 h 假設函式，h maps from x s to y s 表示判斷 表示賦值 我們要做regression，那麼應該最小化平均誤差值，即優化函式為 所以我們定義代...
多元線性回歸資料集 多元線性回歸函式的檢驗
假設有原始資料集 擬合之後有以下常用定義 值得注意的是 自由度 在統計學中，自由度指的是計算某一統計量時，取值不受限制的變數個數。相似的 以及調整後的 通常認為 越接近1，模型擬合的效果越好，其定義為回歸平方和與總離差平方和的比值。調整後的 會考慮自由度的影響，懲罰過多的引數數量 防止模型過擬合 t...