在平面直角座標系中，已知兩點
這裡會用到解析幾何中的兩個基本的公式或性質：
中點公式：已知兩點證明：若兩直線垂直，則斜率互為負倒數。兩直線垂直：已知兩條直線
與 垂直，那麼
。
這裡可以借助向量的點乘。取直線l1的方向向量為雙木止月tong：【「數」你好看】向量點乘(scalar product)zhuanlan.zhihu.com,直線l2的方向向量為
,因為l1與l2垂直，所以
。因此，
,得證。
關於向量點乘(dot product)可以參閱：
有了前期的鋪墊，那麼接下去就可以求線段ab的中垂線了。根據中垂線的性質，可以得到以下兩條結論：
（1）中垂線應該與過ab的直線垂直；（2）點ab的中點應該在中垂線上。根據第(1)條，因為直線ab的斜率為
，所以中垂線的斜率為
。又因為點a與點b的中點座標為
,所以根據直線點斜式可以得到
中垂線方程為：
。這個公式是不用背的，我們只需要知道中垂線怎麼得到就可以了，需要求中垂線的時候再推導一下就可以了。下面是2023年上海交大附屬中學的一道自主招生題：
問題：設,是平面直角座標系中的兩點，是線段垂直平分線上的點，如果點這道題如果知道中垂線方程，那麼是很簡單的。根據上述推導我們可以知道線段ab的中垂線為與點
的距離等於
,則點p的座標為？
。於是，可設點p的座標為
,根據
，很容易得到關於t的方程
，解得
。因此點p座標為
。有的題目可能不是求中垂線，但是利用了中垂線的性質，下面也是2023年上海交大附屬中學的另一道自主招生題(這一套卷子裡竟然考了2題中垂線。)
問題：座標原點關於直線翻摺後的點的座標為？這裡我們可以設翻折後的點座標為
,那麼直線
就是翻摺後點與原點組成的線段的中垂線，於是可以得到下面關係式：
（垂直）
（中點在中垂線上）
所以可以很快求得
。因此，原點翻摺後點的座標為
。中垂線的知識是初中解析幾何的重點，我們不需要背公式，只需要理解其背後原理就可以了。
最後再插一句，在解析幾何中，向量是乙個非常好的工具，比如下文
雙木止月tong：【「數」你好看】點到直線與面的距離公式zhuanlan.zhihu.com
雙木止月tong：高中自主招生zhuanlan.zhihu.com
求向量的垂線 浙江向量專題（學生）
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