在管網空間資訊系統的管線碰撞分析模組開發過程中，遇到計算異面直線的公垂線的問題。通過查詢資料，得到了計算異面直線的公垂線距離的公式，但為了判斷垂足是否在直線的確定的一段線段上，則必須計算出垂足的座標。以下根據資料，演算了公垂線的垂足的座標通用計算公式。
題目：已知兩條異面直線ab、cd上兩點座標分別為a()、b()、c()、d()。推導直線ab與cd之間的公垂線在各自直線上的垂足座標計算公式。
解題推導：
定義直線ab上的垂足m(xm,ym,zm), 直線cd上的垂足n(xn,yn,zn)。
定義 am = t1*ab => (xm-xa,y-ya,z-za)=t1*(xb-xa,yb-ya,zb-za)
則 m座標定義為
m( t1(xb-xa)+xa , t1(yb-ya)+ya , t1(zb-za)+za );
同理 n座標定義為
n( t2(xd-xc)+xc , t2(yd-yc)+yc , t2(zd-zc)+zc );
所以 向量mn定義為 mn(t2(xd-xc)+xc-t1(xb-xa)-xa, t2(yd-yc)+yc-t1(yb-ya)-ya,
t2(zd-zc)+zc-t1(zb-za)-za);
因為 mn垂直於ab,mn垂直於cd，根據空間向量點積特性，
(xb-xa)[t2(xd-xc)+xc-t1(xb-xa)-xa]+(yb-ya)[t2(yd-yc)+yc-t1(yb-ya)-ya]+(zb-za)[t2(zd-zc)+zc-t1(zb-za)-za]=0;
(xd-xc)[t2(xd-xc)+xc-t1(xb-xa)-xa]+(yd-yc)[t2(yd-yc)+yc-t1(yb-ya)-ya]+(zd-zc)[t2(zd-zc)+zc-t1(zb-za)-za]=0;
分別推導得到：
式1：t2[(xb-xa)*(xd-xc)+(yb-ya)*(yd-yc)+(zb-za)*(zd-zc)]-t1[(xb-xa)* (xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)+(zb-za)*(zb-za)]+[(xb-xa)*(xc-xa)+(yb-ya)*(yc-ya)+(zb-za)*(zc-za)]=0
式2：t2[(xd-xc)*(xd-xc)+(yd-yc)*(yd-yc)+(zd-zc)*(zd-zc)]-t1[(xb-xa)*(xd-xc)+(yb-ya)*(yd-yc)+(zb-za)*(zd-zc)]+[(xd-xc)*(xc-xa)+(yd-yd)*(yc-ya)+(zd-zc)*(zc-za)]=0
令：f1(a,b)=[(xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)+(zb-za)*(zb-za)]
f1(c,d)= [(xd-xc)*(xd-xc)+(yd-yc)*(yd-yc)+(zd-zc)*(zd-zc)]
f2()=[(xb-xa)*(xd-xc)+(yb-ya)*(yd-yc)+(zb-za)*(zd-zc)]
f3(a,b)=[(xb-xa)*(xc-xa)+(yb-ya)*(yc-ya)+(zb-za)*(zc-za)]
f3(c,d)=[(xd-xc)*(xc-xa)+(yd-yc)*(yc-ya)+(zd-zc)*(zc-za)]
則：式1=>式3：t2*f2()-t1*f1(a,b)+f3(a,b)=0;
式2=> 式4：t2*f1(c,d)-t1*f2()+f3(c,d)=0;
即：t1=[f3(a,b)*f1(c,d)-f3(c,d)*f2()]/[f1(a,b)*f1(c,d)-f2()*f2()]
t2=[f3(c,d)*f1(a,b)-f2()*f3(a,b)]/[f2()*f2()-f1(a,b)*f1(c,d)]
由此得到兩個垂足點的座標：
m(xm,ym,zm),
xm=t1*(xb-xa)+xa=(xb-xa)*[f3(a,b)*f1(c,d)-f3(c,d)*f2()]/[f1(a,b)*f1(c,d)-f2()*f2()]+xa;
ym=t1*(yb-ya)+ya=(yb-ya)*[f3(a,b)*f1(c,d)-f3(c,d)*f2()]/[f1(a,b)*f1(c,d)-f2()*f2()]+ya;
zm=t1*(zb-za)+za=(zb-za)*[f3(a,b)*f1(c,d)-f3(c,d)*f2()]/[f1(a,b)*f1(c,d)-f2()*f2()]+za;
n(xn,yn,zn),
xn=t2*(xd-xc)+xc=(xd-xc)*[f3(c,d)*f1(a,b)-f3(a,b)*f2()]/[f2()*f2()-f1(a,b)*f1(c,d)]+xc;
yn=t2*(yd-yc)+yc=(yd-yc)*[f3(c,d)*f1(a,b)-f3(a,b)*f2()]/[f2()*f2()-f1(a,b)*f1(c,d)]+yc;
zn=t2*(zd-zc)+zc=(zd-zc)*[f3(c,d)*f1(a,b)-f3(a,b)*f2()]/[f2()*f2()-f1(a,b)*f1(c,d)]+zc;
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