矩陣的秩和它的特徵值有什麼關係呢？假設我得到了乙個矩陣的特徵值，如何根據特徵值推斷它的秩呢？
我們知道，矩陣的秩代表維數，矩陣的特徵值有幾何重數和代數重數之分，其中幾何重數代表著該特徵值對應的特徵向量構成的空間(即特徵子空間)的維數，也就是在這個空間裡的所有向量經過矩陣變換(a)都不改變方向，只改變大小。(特徵向量的非零線性組合依舊是特徵向量。)代數重數則代表相同特徵值的個數。且0＜幾何重數≤代數重數。
非零特徵值的幾何重數並不能決定矩陣的秩，且其必然小於等於矩陣的秩。如下圖所示，假設三維矩陣a幾何重數為2，代數重數為3，原座標基經過a描述的變換後變為下圖所示。此時矩陣a的秩為3.
而在所有的特徵值中最特殊的就是零特徵值。零特徵值的特徵子空間意味著有多少維的向量被壓縮到了0.由此，我們可以得出乙個美妙的公式：若用r(a)表示矩陣a的秩，t表示矩陣零特徵值的幾何重數，則r(a)=n-t.
嚴格的證明需要用到若當標準型，這裡就不展開講了。事實上幾乎所有的人都會嚴格的證明，像我這樣通俗易懂的講出來的人反而少......
最後插句題外話，在找資料的過程中我發現若當標準型其實我在現代控制原理課上學到過，但是我當時就沒太學懂，只會做題而已。這是因為老師的授課方式沒有遵循馬克思主義哲學中的認識論。認識的過程分為兩次飛躍，第一次是從實踐到認知，即感性認識到理性認識的飛躍，第二次是才是從認識到實踐，即理性認識到實踐的飛躍。我們的老師跳過了第一次飛躍，直接讓我們理性認識，然後讓我們做題。這就導致我一直學的似懂非懂。我現在才算是把這個過程整明白。馬哲yyds.
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