最近在學lsc，想蒐集一些特徵值和特徵向量的知識
1、特徵值和特徵向量
矩陣的基
定義：乙個m*n的矩陣可以看成是n個列向量組成，這n個列向量的線性組合構成乙個列空間，而通常這n個列向量不是線性無關的，那麼求出這n個列向量中不相關的r個，可以稱這r列為矩陣列空間的基。
基上投影的計算：要準確描述向量，首先要確定一組基，然後給出在基所在的各個直線上的投影值。二維直角座標系中我們經常省略第一步，而預設以(1,0)和(0,1)為基。對向量在某個基上的投影等於此向量和這個基的內積（即向量的點乘）。
2、特徵值
2.1 特徵值的意義
矩陣主對角線上的元素表示自身和自身的關係，其他位置的元素aij表示i位置和j位置元素之間的相互關係。特徵值問題其實就是選取了一組很好的基，就把矩陣 i位置和j位置元素之間的相互關係消除了。
-特徵值越大，矩陣在對應向量上的方差越大，所含的資訊越多。
特徵值反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數，反映的是變換的劇烈程度，它的值代表矩陣在基上的投影長度。
3、特徵向量
3.1 特徵向量的意義
特徵向量的引入是為了選取一組很好的基
特徵向量指明變換的方向
4、特徵值分解
乙個變換（矩陣）可由它的所有特徵向量完全表示。而每乙個向量所對應的特徵值，就代表了矩陣在這一向量上的貢獻率——說的通俗一點就是能量，可以得到特徵值與特徵向量，特徵值表示的是這個特徵到底有多重要，而特徵向量表示這個特徵是什麼，可以將每乙個特徵向量理解為乙個線性的子空間
對於矩陣a這個變換所在的乙個n維空間，如果存在n個線性無關的特徵向量， 我們就能用這n個特徵向量作為基來表示這個空間的任意向量！
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原文：
特徵向量與特徵值
在看線性代數這一部分的時候，真是一頭霧水。雖然明白了特徵值和特徵向量的求法，但總覺得沒有用。在 理解矩陣 一文中，雖然提到了這與矩陣的本質有關，但並未詳細提及，但我知道了一定具有一定的幾何意義。後來，檢視了 特徵向量的幾何意義 一文，才明白了。特別是wikipedia中關於 特徵向量 的文章，終於對...
特徵值與特徵向量
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉 伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。實際上，上述的一段話既講...
特徵值和特徵向量
在剛開始學的特徵值和特徵向量的時候只是知道了定義和式子，並沒有理解其內在的含義和應用，這段時間整理了相關的內容，跟大家分享一下 首先我們先把特徵值和特徵向量的定義複習一下 定義 設a是n階矩陣，如果數 和n維非零向量x使關係式 成立，那麼，這樣的數 稱為矩陣a的特徵值，非零向量x稱為a的對應於特徵值...