眾所周知，二維平面直角座標系中的面積微元轉換為平面極座標系有
嘗試下證明 ：
先列出x,y與r,
微分一下
得到了什麼？你說你不知道第三行怎麼來的？我也不知道。。。
於是這波看似100%能成功的證明就以失敗告終了。
有厲害的小夥伴指出了，這裡的面積微分並不是這麼定義的，而應該是外積，在運算法則上的不同造成了證明中的錯誤。
那換個角度，這也是我最先對於這個面積轉換的理解（這也正是改變了運算法則，採用了外積的運算方式）：
這可以看作紅色「矩形」的面積，
順理成章。
可是這又跟dx,dy何干？唯一明顯的聯絡就是 它們同樣表示的是二維平面的面積微元。
下面是另外一種理解，或許可以解答這個疑惑。
線性變換、仿射變換使得向量空間上的點具有很好的性質，但是這些性質到了非線性變換就消失了。
舉個例子：
。。。那麼該如何用矩陣來描述變換後向量張成的空間呢？
很明顯的是，不能再用乙個常數矩陣來描述了。每乙個不同向量都有自己的矩陣變換，不妨就關注某個特定的向量，以及這個向量附近的向量。
因為是「附近」，所以這個向量在鄰域內張成的空間可以看作是線性變換的，所以可以用乙個特定的矩陣來描述。
在上述例子中，原空間由x,y的基矢構成，變換後的空間由
的基矢構成。
這就好像是我們輸入乙個向量
經過乙個變換
輸出了
。那麼可以輸入乙個原向量的單位向量
於是輸出了
；同樣地，輸入乙個
得到 這說明了，組成空間的兩個基矢經過的線性變換到了兩個新的位置（可以與原先相同）。
在非線性變換中，我們不能保證所有「基矢」都到達同樣的位置，但是也不需要，我們可以研究區域性的性質。
既然是區域性，我們就可以用線性的變換來擬合。
考察乙個向量
經過了變換來到了
對它進行鄰域內的近似線性變換
（此處的
是小量）。
這裡的函式決定了變換矩陣
和平移量
。現在做的只是完美確定了向量
落在了該落的位置上（假設），還需要做的事是把
附近的向量準確落位。
設原空間中的基分別是
變換後;
這時如果我們輸入乙個
( 是小量），也就相當把
函式改為
這就相當於對
中的x求偏導，顯然有
同樣有
。如果輸入的是
這也就要求了輸出的是
為了讓線性變換後也達到這個效果，我們需要作用乙個矩陣，這個矩陣也就是雅可比矩陣(jacobian matrix)。
它具有如下形式（二維）：
這就符合了前面的要求：對這個矩陣作用乙個小量（小的向量）
發現，作用了這個矩陣使得
在鄰域內能滿足：
也即 可這又跟一開始的面積微元有什麼聯絡呢？
高中階段，我們接觸最多的就是橢圓當中的伸縮變換
面積微元的變換很顯然，
。可是如果變換後的基矢並不正交（這也正是大部分情況）呢？
觀察下
的變換矩陣：
看到了變換後的面積微元與變換前的比值是這個矩陣的行列式
。對於普遍的變換
前面已經提到，基矢來到了不同的位置
注意到單位面積變換到了平行四邊形
的面積，這就非常好求了，只需要
就得到了變換後的單位面積，所以微分形式是
即面積變換需要乘上乙個變換的矩陣的行列式。
也可以寫成
（有用極了）
這個問題可以是，把由
構成的向量空間轉換成固定且正交的基矢構成的空間，求在
處的面積微元表達形式。
這個非線性的變換可以表達成
也是 我們考慮微小的面積，所以就用上了前面的雅可比矩陣。 在
處的雅可比矩陣寫為：
所以在這個點附近的微小變化就可以用這個矩陣來描述。那我們假設乙個微小變化為
（原空間中的微小變化），產生乙個微小的平行四邊形（變換後的空間中）的面積就是
。於是就證明了一開始的結論：
雅可比矩陣的應用就在於類似於這樣的微分形式換元。
看乙個問題：求
。給出一種解法：
作換元
得到了
這裡就用到了
當然也可以理解為面積元的轉換，不過雅可比矩陣給出了很好的解釋。
可以看到，
在第一象限，所以定義域在
。算算完就是：
得到了
。這只是展示了很弱的運用，不過也有意義。（比較有用的看情況更）
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