設σ
\sigma
σ是實平面r2r^
r2上的線性變換，其關於標準基的矩陣為
p =[
css−
c]
p=\left[\begin & \\ & \end\right]
p=[cs
s−c
]其中c2+
s2=1
c^+s^=1
c2+s2=
1，證明σ
\sigma
σ是反射變換，並計算其對稱軸。
由於det(
λi−p
)=λ2
−1
\operatorname(\lambda i-p)=\lambda^-1
det(λi
−p)=
λ2−1
因此p
pp相似於矩陣q[10
0−1]
\left[\begin & \\ & \end\right]
[100−
1]ξ
1\xi_
ξ1與ξ
2\xi_
ξ2分別為1與-1對應的特徵向量，因此有：
=\xi_} \\ =-\xi_}\end\right.
ξ1與ξ
2\xi_
ξ2看作是兩個向量a與b分別在標準基下的座標，則pξ1
=ξ
1p \xi_=\xi_
pξ1=ξ
1可看作是向量a在經過σ
\sigma
σ變換後的結果在標準基下的座標仍為ξ
1\xi_
ξ1，即在變換前後其未發生變化；
而對於向量b來說，由於有pξ2
=−ξ2
p \xi_=-\xi_
pξ2=−
ξ2，因此向量b在標準基下的座標在經過σ
\sigma
σ變換後變成了原來的-1倍。
因此，這直觀地說明了σ
\sigma
σ變換為反射變換，其對稱軸即為與鏡面垂直的向量，因此對稱軸即為ξ
2\xi_
ξ2，即矩陣p
pp的-1特徵值對應的特徵向量。
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