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矩陣座標系變化理解
讓我們從乙個實際的例子入手：下圖是乙個用兩維的笛卡爾座標系表示的二維空間。
其中，黑色座標系 x-y代表乙個二維空間；藍色座標系 i-j代表另外乙個二維空間。已知藍色座標系軸在黑色座標系下對應的值是i=(1,1), j=(-1,1)，又知橙色向量 p 處在 i-j 空間中，其座標值為(2,1)。現在的問題是，這個p被轉換到黑色座標系 x-y 空間下它的座標值是什麼？
解決這個問題乙個最關鍵也最直接的想法是「向量分解與再合成
」。p可以被分解到 i 和j兩個方向，得到p= 2i+j；同時 i 又可以分解到 x 和y兩個方向，得到 i = x + y，另外j也可以分解得到j= -x+y。於是，我們全部展開，就得到p(i-j)= 2i+j= 2(x+y) + (-x+y) =x+ 3y=p(x-y) 。
因此點p在x-y空間下的座標值為(1,3)。
這種方法可以用來討論更一般的情況。假設p點在i-j座標系下為(k1,k2)，在x-y座標系下為(q1,q2)。同樣地有基向量 i 對應在x-y空間中為(m1,m2)；j對應在x-y空間中為(n1,n2)。
於是我們有以下推導，
i= m1x+ m2y，j= n1x+ n2y
於是，p(i-j)= k1i + k2j
= k1(m1x+ m2y) + k2(n1x+ n2y)
= (k1m1 + k2n1)x+ (k1m2 + k2n2)y
於是，p(i-j)= (k1m1 + k2n1, k1m2 + k2n2)
= (q1, q2)
=p(x-y)
得到，q1 = k1m1 + k2n1
q2 = k1m2 + k2n2
變換成矩陣形式:
其中(k1,k2)是i-j空間下的座標值，而(q1,q2)是x-y空間下的座標值。中間的矩陣就是用來做轉換的矩陣。從中我們可以發現，如果豎著來觀察，向量(m1,m2)就是基向量i在x-y空間下的座標值，而向量(n1,n2)則是基向量j在x-y空間下的座標值。這個矩陣，實際上就是由空間i-j下的基向量在空間x-y下的座標值構成的。
1 矩陣的行序和列序（也稱行優先或列優先）僅僅是指矩陣的儲存方式，即我們如果用乙個4*4陣列m儲存矩陣，如果m[0][0]-m[0][3]連續儲存了矩陣的第一行，那麼就是行優先，反之就是列優先。無論是行優先還是列優先，它們代表的數學意義是相同的。
2 如果矩陣是行序，那麼它的第一列（m[0][0],m[1][0],m[2][0]）就代表x變換，第二列就是y變換，第三列就是z變換。
我們來看看為什麼：
剛才提到矩陣把線性空間中的乙個點給變換到另乙個點，不妨稱變換前的點為p1(x1,y1,z1)，變換後的點為p2(x2,y2,z2）：
那麼根據線代中的矩陣乘法，p1 * m = p2展開就成了：
m00,m01,m02
(x1,y1,z1) * m10,m11,m12 = x1*m00+y1*m10+z1*m20+ x1*m01*
m20,m21, m22 y1*m11+z1*m21,x1*m02+y1*m12+z1*m22
所以：x2 = x1*m[0][0] + y1*m[1][0] + z1*m[2][0];
y2 = x1*m[0][1] + y1*m[1][1] + z1*m[2][1];
z2 = x1*m[0][2] + y1*m[1][2] + z1*m[2][2];
看出什麼了嗎？
如果把乙個行序矩陣（接下來討論的都是行序矩陣，就省略行序二字了）的每一列分別用x,y,z三個向量來表示，那麼m就表示為：xyz三根軸。
現在，矩陣m看起來是不是很像乙個座標系？而p1到p2的變換就是p1分別與x,y,z的點積！
也就是矩陣m是把p1從老座標系變換到新座標系，而矩陣的三列（三根軸）就分別代表了新座標系的三根軸在老座標系中的座標！
而點積的幾何意義其實就是求取投影
！所以座標變換的幾何本質（剛才已經討論過其代數本質），就是把乙個點分別投影到三根軸上去而已！
再仔細想一想
，p1在xyz三根軸上的投影，不正是它在新座標系下的座標嗎？這樣一來，座標變換是不是就太容易理解了呢？
綜上理解得出:
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