北京
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上期講到不等式：
其實，我在5月30日和6月2日的兩篇文章中都深入涉及了這個值為π^2/6的無窮級數。
第一篇:《尤拉恒等式》
第二篇:《這些π的公式是怎麼得到的？》
第三篇:《屬於幾何學的π也還出現在概率中》
(文後有鏈結。)
好的，今天我再給出乙個著名不等式(不等式的內容之前講過不少，但沒有講的也很多，一點點來，一點點自然形成)。今天這個不等式也涉及這個著名級數及它的極限π^2/6。
這個不等式是由卡爾松(carlson)給出的，叫做卡爾松不等式(carlson inequality)。以卡爾松命名的不等式很多，我們所知道的主要是關於矩陣的那個。今天這個可能不常見，但確實很有趣也很重要。它就是：
它的左邊是n個數的和的平方，右邊是這n個數的平方所構成的陣列與前n個正整數的平方構成的陣列的內積(內積就是兩陣列對應元素相乘的和)，再乘以π的平方除以6。
它的證明要用到柯西不等式(cauchy inequality)。柯西不等式也叫做柯西-許瓦爾茲不等式(cauchy-schwarz inequality)或柯西-布尼亞柯夫斯基-許瓦爾茲不等式(cauchy-buniakowsky-schwarz inequality)。柯西不等式以前講過，請參閱文後的鏈結文章。
需要把柯西不等式寫出來。如下：
有兩組實數：
j=0時，認為a
j=0，其中j=1, 2, ··· , n)。
為了與本期要證明的卡爾松不等式順序一致，我們把柯西不等式改變方向來寫，如下：
讓上式中bn(n為正整數)都等於1，便可以出現所要證明的卡爾松不等式(1)左邊的形式，如下式左邊。
我們知道，π^2/6是正整數平方的倒數的和(無窮多的正整數都出現且只出現一次)，所以，為了出現倒數或分數形式，(2)式中的b
n可以取為
它仍然等於1，沒有問題。然後，我們來看一看是怎麼推演的(其中的第乙個不等號的出現便利用了柯西不等式)。
這就得到了卡爾松不等式，即
這個卡爾松不等式中不等號一定是嚴格的小於號(π^2/6是收斂的無窮級數的值。
《尤拉恒等式》(2023年5月28日)
《這些π的公式是怎麼得到的？》(2023年5月30日)
《屬於幾何學的π也還出現在概率中》(2023年6月2日)
《柯西不等式》(2023年4月18日)
下期力爭講一講那個針對矩陣的卡爾松不等式。
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