題目
已知六稜錐 \(p-abcdef\) ，底面 \(abcdef\) 為正六邊形，點 \(p\) 在底面的射影為其中心，將該六稜錐沿六條側稜剪開，使六個側面和底面展開在同一平面上，若展開後點 \(p\) 在該平面上對應的六個點全部落在乙個半徑為 \(5\) 的圓上，則當正六邊形 \(abcdef\) 的邊長變化時，所得六稜錐體積的最大值為 \(\underline\).
解析如圖，連線 \(op\) ，交 \(ef\) 於 \(g\) ，設 \(og=x\) ，則 \(gp=5-x\) ，六稜錐的高 \(h=\sqrt,s_=2\sqrtx^2\) . 則
\[\beginv&=\dfrac\cdot 2\sqrtx^2\cdot\sqrt \\[2ex] &=\dfrac}\cdot\dfrac\cdot\sqrtx\cdot\dfracx\cdot\dfracx\cdot\dfracx} \\[2ex] &\leq\dfrac}\cdot\dfrac\cdot\sqrt \\[2ex] &=\dfrac}\end
\]當且僅當 \(25-10x=\dfracx\) ，即 \(x=2\) 時，等號成立，六稜錐體積取最大值 \(\dfrac}\)，此時六邊形的邊長為 \(\dfrac}\) .
積分形式的詹森不等式 均值不等式及其積分形式
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