接下來進入向量場啦，在電磁學和流體力學中均有重要的應用。
本章最後的部分有參考趙老師的《新概念物理－電磁學》
先介紹幾個基本概念：
若有函式
若變換座標
然後就是梯度（gradient）的定義：
散度（divergence）：
比如，對於向心力場：
例如：則當n=-2時，場的散度為零。這個結論在點電荷與磁荷產生的場中是很有用的。
旋度（curl）：
之後我們會看到，將
當成operator會有助於理解座標變化時各量的變化，以及，推導
相關的公式。
接著看一下向心力場的旋度（聰明的你已經知道了答案）：
下面我們來處理一下相關的
公式：這就是當乙個標量場和向量場相乘時，如何快速求散度。
此處幾乎是把
當成乙個向量，然後按照三重矢積的形式展開。不同之處在於：1.
要作用於向量或者標量場，按照慣例寫在它們的前面；2.第乙個式子中的
僅作用於向量b，而二式中的
僅作用於向量a。
你可能會好奇
是怎麼定義的：
也就是說：
這裡，我們把運算元看成乙個向量來點乘了。之前這裡的定義有誤，今天學習磁場中帶電粒子的動量守衡的時候意識到了...其實確實這樣理解才會更自然。
把之前的兩個式子加起來，會得到什麼呢？
左邊的係數並非2，是因為分步的偏導加在一起就是乙個既對向量a也對向量b作用的
。基礎的介紹完了，下面是一些
其他應用：
拉普拉斯算符
若有勢（potential）v(r)：
如果 ：
可以看出，若n=0或n=-1，拉普拉斯算符作用於函式將得到0，譬如，對於點電荷的電勢作用拉普拉斯算符就是如此。
無旋場（irrotational field）和無源場（solenoidal field）：
看兩個式子就明白啦：
則梯度的旋度必為零，梯度得到無旋場。
則旋度的散度必為零，旋度得到無源場。
向量中的拉普拉斯
這裡的展開也是遵循了三重矢積。而
，也即
，就是作用在向量上的拉普拉斯算符。比如在笛卡爾座標系中，它的含義就是：
請注意，這裡是對各分量作用。
麥克斯韋方程組，磁矢勢，和洛倫茲規範。
我們知道，在真空中：
時間和空間上的導數的求導順序可互換：
現在引入磁矢勢
，使得現在，我們來思考一下引入磁矢勢的合理性（當然，後面講到亥姆霍茲定理時會有更深入的介紹）。
由於磁感應線永遠是閉合的，磁場中閉合曲面的淨磁通量一定為零，此結論等價於「不存在磁單極子」，可以說是高斯定理在磁場中的應用。這個結論也可以用畢奧－薩法爾定律考察單個極小電流元產生的圓環（不是圓圈，因為需要求面積上的通量）磁感應線證明：
想象乙個任意閉合曲面擷取了此磁感應環的一部分，從此圓環的環形軸線上p點進入，q點出。首先，矢徑平方的大小，也就是電流元到兩點的距離是相等的，是半徑的平方加上常數高度的平方，並且由此推出夾角
也相等。我們知道磁通量是磁感應強度乘上它
垂直穿過的面積。也就是說，雖然環穿入和穿出閉合面時的截面可能是任意的形狀，但是我們最終要用的面積是圓環的截面，之前已經證明
在兩側是一樣的（實際上在整個圓環上都一樣），現在又知道
相等，則穿出與穿入的磁通量數值一樣，那麼淨通量就是零。這也是磁場的無源性質決定的。
假如我們現在要把乙個閉合面分為兩部分，每部分的非閉合曲面的通量會是多少呢？
注意，第二部分前面的負號是因為乙個閉合曲面的矢面積必然為零，所以兩個面的法向必然有乙個和規定正法向相反。好了，我們注意到兩個面的磁通量是相等的，這就意味著，通量多少和麵的性質有關（磁場在此處的分布，面積大小）。那麼，什麼決定了面的性質呢？實際上就是如何分割閉合面的——靠的是選定的邊界線。所以，就可能找到乙個向量，沿邊界線的積分等於通過面的磁通量。
實際上磁矢勢的推導還可以通過畢奧－薩法爾定律，這裡不贅述。
引入磁矢勢後，我們有：
括號裡的式子取旋度之後就為零了，回憶起之前提到的無旋場，則可知
是乙個函式的梯度：
我們還知道非齊次方程（空間中有電流／電荷情況下的奧斯特和高斯定理）：
現在（請瞪大您的雙眼）我們引入洛倫茲規範（lorenz gauge）。電磁場在洛倫茲規範下不變是其非常重要的乙個部分。而至於它為什麼不變，等到之後解釋helmholtz theorem的時候就真相大白了。懷著這份小小的疑問去看h theorem的推導，才更能深刻理解電磁場的性質。
我們限制了磁矢勢的散度：
接下來，我們將看到波函式在非齊次微分方程中的對應：
又因為：
所以：這裡，我們看到電流密度和產生的磁矢勢是被波函式聯絡起來的。當然，我們也可以不通過磁矢勢而得到麥克斯韋方程組的其次波函式方程。
下一章將涉及斯托克斯定理，散度定理，格林定理，向量場中的積分，可能還有一點dirac-delta函式。講完這些我們就可以進入helmholtz theorem，更加深刻的理解洛倫茲規範和向量場積分。
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