n維列向量組α1
,α2,
...,
αm,m
<
n 線性無關，則n維列向量組β1
,β2,
...,
βm線性無關的充要條件是（d）
a. 向量組α1
,α2,
...,
αm可由向量組β1
,β2,
...,
βm線性表出
b. 向量組β1
,β2,
...,
βm可由α1
,α2,
...,
αm線性表出
c. 向量組α1
,α2,
...,
αm與β1,
β2,.
..,β
m 等價
d.矩陣[α
1,α2
,...
,αm]
矩陣[β
1,β2
,...
,βm]
等價
分析：主要想思考一種向量空間與子空間的概念。
線性代數應當是非常形象的，如果引入了子空間的概念的話。比如這裡，n維的向量張開的是n維空間，那麼從中取出m個，且
m<
n ，即使是m個線性無關向量，得到的是在n維下開闢的子空間，是n維空間的乙個子集。
因此，a項中，即使β1
,β2,
...,
βm線性無關，與α1
,α2,
...,
αm線性無關，得到的子空間不必是同乙個。那麼在不同子空間下，兩個向量組任何一方都不能線性表出對方。而當α1
,α2,
...,
αm能夠被β1
,β2,
...,
βm線性表出時，可以得到的是β1
,β2,
...,
βm一定是線性無關，且它們張開的是同乙個子空間。這裡需要的是充要條件，因此a項不行。
對於b項，m個線性無關向量組可以表達的是在自己的子空間內的向量，可以是子空間的子空間。因此β1
,β2,
...,
βm只會比α1
,α2,
...,
αm更小，也即不可能是線性無關。
c項是乙個充分條件，限定了兩個向量組等價（可以互相線性表出），也就意味著二者是同乙個子空間。當然可以得到兩個向量組線性無關，但是反過來無法推導。
d項是合理的，矩陣的等價表示二者可以初等行變換得到。即二者形成的矩陣秩相等。因此可以互相推導。即充要條件。
update：關於子空間的理解，有待深化理解。馬克之。
3 3 極大線性無關組以及 向量的秩
定義 1 向量組 alpha 1,alpha 2,dots alpha s 的乙個部分組滿足兩個條件 1 這個部分組線性無關 2 從向量組的其餘向量 如果存在的話 中任取乙個向量添進來，得到的新的部分組都線性相關 稱為這個向量組的乙個極大線性無關組。設向量組 alpha 1,alpha 2,dots...
兩個向量組的秩相等說明什麼 向量分析 II
接下來進入向量場啦，在電磁學和流體力學中均有重要的應用。本章最後的部分有參考趙老師的 新概念物理 電磁學 先介紹幾個基本概念 若有函式 若變換座標 然後就是梯度 gradient 的定義 散度 divergence 比如，對於向心力場 例如 則當n 2時，場的散度為零。這個結論在點電荷與磁荷產生的場...
兩個三維向量叉積 兩個向量的叉積
精品文件 1.8兩向量的向量積 定義1.8.1 兩個向量a與 b的向量積 外積 是乙個向量，記作 a，它的模是ab sin二其中 v為a與 b間的夾角 a4的方向與a與 b都垂直，並且按ab ab的順序構成右 手標架 oa ba4 下圖 a定理 1.8.1 兩個不共線向量a與 b的向量積的模，等於以...