定義 1：
向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的乙個部分組滿足兩個條件：
（1）這個部分組線性無關
（2）從向量組的其餘向量（如果存在的話）中任取乙個向量添進來，得到的新的部分組都線性相關
稱為這個向量組的乙個極大線性無關組。
設向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的乙個極大線性無關組，不妨設為\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)
\((m \leq s)\)
由於\(\alpha_j = 0\alpha_1 + \dots + 0\alpha_ + 1\alpha_j + 0\alpha_ + \dots + 0\alpha_s\)
所以極大線性無關組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)中每乙個向量，都可以由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出。
反之，\(\alpha_i(1 \leq i \leq m)\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出，而\(\alpha_j(m < i \leq s)\)由於\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m,\alpha_j\)線性相關，因此\(\alpha_j\)可由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出。
因此\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每乙個向量都可以由\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_m\)線性表出。
若向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)每乙個向量都可以由向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性表出。
則稱\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可以由\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性表出。
如果向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)與向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可以相互線性表出，則稱這兩個向量組等價。記作\(\ \cong \\)
由上述討論證明了：
命題 1：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)與它的任意乙個極大線性無關組等價。
向量組的等價具有性質：
（1） 每個向量組與自身等價（反身性）
（2） 若\(\ \cong \\)，則\(\\cong \\)（對稱性）
（3） 若\(\ \cong \\)，且\(\\cong \\)，則\(\\cong \\)（傳遞性）
證明：只需要證線性表出具有傳遞性。
\[\alpha_i = \sum_^ra_\beta_j,i = 1,2,\dots ,s \\
\beta_j = \sum_^tb_\gamma_l, j = 1, 2, \dots ,r \\
\begin
\alpha_i &= \sum_^ra_\sum_^tb_\gamma_l \\
&= \sum_^r(\sum_^ta_b_\gamma_l) \\
&= \sum_^r(\sum_^ta_b_)\gamma_l
\end
\]從而\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)可由\(\gamma_1, \gamma_2, \dots ,\gamma_t\)線性表出。
由向量組等價的對稱性和傳遞性得：
命題 2：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)任意兩個極大線性無關組等價
引理 1：
設向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出，如果\(r > s\)，那麼\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)一定線性相關。
證明：由已知，
\[\beta_1 = a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s \\
\cdots \\
\beta_r = a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s
\]\[\begin
x_1\beta_1 + \dots + x_r\beta_r &= x_1(a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s) + \dots + x_r(a_\alpha_1 + \dots + a_\alpha_s) \\
&= (a_x_1 + \dots a_x_r)\alpha_1 \\
&+ \dots \\
&+ (a_x_1 + \dots a_x_r)\alpha_s \\
\end
\]考察齊次線性方程組：
\[\begin
a_x_1 + \dots a_x_r = 0 \\
\dots \\
a_x_1 + \dots a_x_r = 0
\end
(1)\]
由已知條件，\(s < r\)，因此方程組(1)必有非零解，
取乙個非零整數解（\(k_1, k_2, \dots ,k_r\)）有\(k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \dots + k_r\beta_r = 0\)
因此\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性相關。
推論 1：設向量組\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)可由向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性表出，如果\(\beta_1, \beta_2, \dots ,\beta_r\)線性無關，那麼\(r \leq s\)
推論 2：等價的線性無關的兩個向量組所含向量的個數相等（\(r \leq s\)，又\(s \leq r\)，因此\(r = s\)）
推論 3：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意兩個極大線性無關組所含向量的個數相等。
定義 3：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的任意乙個極大線性無關組所含向量的個數稱為向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的秩。
只含零向量的向量組的秩規定為\(0\)。
記為：\(rank\\)
命題 3：向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)線性無關\(\leftrightarrow\)
\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)是向量組\(\alpha_1, \alpha_2, \dots ,\alpha_s\)的乙個極大線性無關組。\(\leftrightarrow\)
\(rank\ = s\)
命題 4：向量組（i）可以由向量組（ii）線性表出，則\(rank(i) \leq rank(ii)\)
證明：取向量組（i）的極大線性無關組（i'），取向量組（ii）的極大線性無關組（ii'）。
其中（i）與（i'）等價，（ii）與（ii'）等價。又（i）可以由（ii）線性表出，由傳遞性（i'）可以由（ii'）線性表出，其中（i'）線性無關。
由命題2的推論1，（i'）的向量個數\(\leq\)（ii'）的向量個數，因此\(rank(i) \leq rank(ii)\)
推論 4：若兩個向量組等價，那麼它們的秩相等。
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