數學的向量與物理的向量
一、概念
首先，從概念上看，向量又稱向量(vector),最廣義指線性空間中的元素.它的名稱起源於物理學既有大小又有方向的物理量。
在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量）。
數學的向量與物理的向量的概念是一致的，運算法則也大多數適用於物理應用。
二、運算法則
下面我簡單舉例向量的加減法則，更多向量知識可以自己去看人教版的高中數必修四第二章。
向量的加減法則可以分為平行四邊形法則與三角形法則，這個法則同樣適用於物理應用中的向量計算。
向量的平行四邊形法則最早**於物理中的力學。2023年，荷蘭的斯蒂文在《靜力學基礎》一書中最早提出力的分解與合成原理。後來抽象到數學層面，就是向量的平行四邊形法則。
如下圖：
a,b兩個向量相加，合就是a+b，假設a和b都是二維平面 的向量，其合就是上圖中的平行四邊形的對角線。（注意向量在印刷時，可以用加粗小寫字母表示）
還有乙個向量的三角形法則，如下圖：
三、向量在物理中的應用
1.物理問題中的常見向量有力、速度、加速度、位移等，
2.動量mv涉及m與向量v的數乘運算
3.功是力f與其產生的位移s的數量積
4.但是注意區別物理中的向量與自由向量的區別。比如力向量不同於自由向量，它不僅包括大小方向，還有作用點。數學的大小相等方向相同的2個自由向量是相等的，因為自由向量可以平移。但是大小相等方向相同的2個力，如果作用點不同，那麼它們不相等。
所以對於物理學應用題的力學的受力分析在向量的理解基礎上，要重點分析不同作用點的影響。
5.物理學中的速度v，加速度a，位移s也是向量，例如數學常考的拋物線，在物理學上，就是因為重力加速度與初始速度方向不同導致的，那麼為什麼同樣受到重力加速度影響，自由落體運動是直線，拋物線是曲線呢？這個區別在於自由落體運動的加速度和初始速度是同方向或方向相反的，拋物線的不同方向。
自由落體運動實驗
基礎例題：
綜合例題：
四、用向量解決物理問題的步驟
1.抽象出物理問題中的向量，轉化為數學問題
2.建立以向量為主體的數學模型
3.求出數學模型的解
4.回到物理問題，用求出的數值去解釋相應的物理現象
五、常見物理向量的解題思路
1.力向量：
（1）求作用於同一點的兩個力的合力可以用平行四邊形法則。
（2）對於同乙個物體所受的力一般可以對力進行正交分解
（3）在同一平面，作用於同一點的幾個力處於平衡狀態，那麼這幾個力的向量和為零向量。
2.速度向量：
（1）可用求向量的加減運算法則，平行四邊形法則求兩個速度的合速度。
（2）初始速度與加速度不同方向時可以用平行四邊形法則計算出運動曲線的每個點的瞬時速度，從而得到完整的運動曲線
（3）具體問題中需要對速度進行分解，可用平行四邊形法則或正交分解法，具體由實際情況而定
3.力做功：
力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，即力和位移兩向量的數量積，w=f.s，可以用投影法畫圖分析，計算數量積，｜f｜.｜s｜.cosa(a為力f與位移s的夾角。
作用點一致的，還可以建平面直角座標系，轉化成向量座標計算
例如：
數學向量在物理中的應用
以上總結了向量在物理中的應用，原因在於我學生課間拿了高中物理題來問我，她對加速度，速度和位移的分析有些懵，我的物理從高考結束到現在有8年沒碰過了，但是我用數學的向量邏輯給她演示乙個分析方法，她就懂了。所以我才總結一下數學向量在物理中的應用。
這也是為什麼提倡數學要重點訓練學科思維邏輯分析能力的原因。知識的記憶也許會被時間淡化，但是思維邏輯分析能力會隨著你而成長。
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