對於任何乙個數學概念的理解，我認為最重要的一步首先是理解其在數學上最標準的定義。當你要想把一件事情從邏輯上說得通時，第一步就是在給定雙方都認可的情況下去闡述你的觀點，好比辯論賽之所以正反雙方都能夠有自己的觀點並相互矛盾，其實很大程度上在於雙方對問題的定義出現了偏差。
為更加準確無誤了理解概率論中最原始的定義，以下我將引用國外教材最原始的表達，避免二次翻譯，只給出自己的理解。在給出隨機變數的定義前，不可避免的需要介紹一些基本概念。
the triple (ω,
f,p)
(\omega, \mathcal, \mathcal)
(ω,f,p
), comprising a set ω
\omega
ω, a σ
\sigma
σ-field f
\mathcal
f of subsets of ω
\omega
ω, and a probability measure p
\mathcal
p on (ω,
f)
(\omega, \mathcal)
(ω,f
), is called aprobability space.
以上介紹了概率論中概論空間的三要素 (ω,
f,p)
(\omega, \mathcal, \mathcal)
(ω,f,p
), 以下對各個部分做一些解釋，不涉及測度論。
在介紹了概率空間之後，我們開始進入隨機變數的理解。很多時候我們並不關心隨機試驗的一次結果本身，比如拋一次硬幣結果正面朝上，諸如此類，相反我們更加關心試驗隨機結果出現的序列，比如拋一次硬幣所出現的所有結果。
根據定義我們可以看到隨機變數是人為引入的乙個函式 (不是變數，特殊的函式)，跟概率測度不一樣，這是它是實實在在定義在概率空間上函式，將 ω
\omega
ω 對映到實數集 r
rr 上；對於 f
\mathcal
f-measurable 可以理解為：對於任意實數，該隨機變數不大於該實數的自變數取值包含在概率空間的事件域裡，因此我們可以的得到隨機變數兩個要求：
無論是離散型隨機變數、連續型隨機變數還是混合型隨機變數，分布函式都是不可或缺的。
可以看出分布函式或者說累積分布函式是實數集到 [0,
1]
[0,1]
[0,1
] 的對映，實際上在我們引入隨機變數將概率空間對映到實數空間時，該空間是沒有意義的，但當我們想知道某乙個事件的概率時，那麼就需要 p(x
≤x
)\mathcal(x\leq x)
p(x≤x)
也就是分布函式再一次對映回來。
最後我想給出概率中兩個非常重要且有意思的公式：全概率公式和貝葉斯公式。
理解隨機變數
1.隨機事件 拋一枚硬幣，不是正面朝上就是反面朝上，正面朝上或者反面朝上都是隨機事件。擲一枚骰子，可能是1點朝上，2點朝上，或6點朝上，每種點數朝上，都是隨機事件。2.隨機事件的概率 與每個隨機事件a關聯的有乙個概率值，它表示該事件發生的可能性 例如，對於拋硬幣，不是正面朝上就是反面朝上，不會出現其...
對隨機變數的簡單理解
首先看下官方定義 隨機變數是從樣本空間投影到實數軸的乙個廣義的實值函式 對任意乙個樣本點w，存在唯一的實數x w 與之對應。我畫了下圖來解釋這個定義 當我們需要研究事件發生的概率時，引入隨機變數後，對事件概率的研究不再是重點，而是轉化為對隨機變數的研究。也就是說 舉個栗子 當我們要研究例如 那麼隨機...
（三）隨機變數
1 分布函式 隨機變數 x x 是離散的，x role presentation style position relative x x取值1，2，3 2 累積分布函式 隨機變數 x x 是連續的，x role presentation style position relative x x取值在某...