1. 隨機事件
拋一枚硬幣，不是正面朝上就是反面朝上，正面朝上或者反面朝上都是隨機事件。
擲一枚骰子，可能是1點朝上，2點朝上，…，或6點朝上，每種點數朝上，都是隨機事件。
2. 隨機事件的概率
與每個隨機事件a關聯的有乙個概率值，它表示該事件發生的可能性：
例如，對於拋硬幣，不是正面朝上就是反面朝上，不會出現其他情況（這裡假設硬幣丟擲去後不會立著），因此有：
p (正
面朝上)
+p(反
面朝上)
=1p(正面朝上)+p(反面朝上)=1
p(正面朝上
)+p(
反面朝上
)=1
對於拋硬幣，正面朝上和反面朝上的概率各為1/2
1/21/
2，對於擲骰子，每個點朝上的概率各為1/6
1/61/
6。上面的例子中，隨機事件所有可能的情況只有有限種，而且可以用整數對這些隨機事件進行編號，如 a1，
a2，a
3，..
.a_，a_，a_，...
a1，a2
，a3
，..
. 然而，有有限就有無限，對於可能有無限種情況的隨機事件，我們該如何計算它發生的概率？
考慮乙個簡單的問題，有乙個長度和高度都為1的正方形，如果我們隨機的扔乙個點到這個長方形裡，這個點落在右上方也就是紅色區域裡的概率是多少？
你可能已經想到了，直接用紅色三角形的面積，比上整個長方形的面積，應該就是這個概率:p=紅
色三角形
的面積長
方形的面
積p=\frac
p=長方形的
面積紅色
三角形的
面積
3. 隨機變數
變數在講隨機變數之前，我們不妨先回憶一下變數，變數是我們再熟悉不過的概念，它是指乙個變化的量，可以取各種不同的值。隨機變數可以看做是關聯了概率值的變數，即變數取每個值有一定的概率。
變數的取值來自乙個集合，可以是有限集，也可以是無限集。
在許多概率模型中試驗結果是數值化的，例如，許多儀器的儀表的讀數，以及股價等。
也有其他一些例子中的試驗結果不是數值化的，但是呢，這些試驗結果是與某些數值相聯絡的。例如：
隨機變數分為離散型隨機變數和連續性隨機變數。
離散型隨機變數：隨機變數的取值是有限的；
連續性隨機變數：是指如果隨機變數x的所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數軸上某一區間內的任一點的隨機變數。 例如，一批電子元件的壽命、實際中常遇到的測量誤差等都是連續型隨機變數。
陳希孺老師在他所著的《概率論與數理統計》這本書中說：研究乙個隨機變數，不只是要看它能取哪些值，更重要的是它取各種值的概率如何！4. 隨機變數的函式
（1）概率質量函式（離散型隨機變數）：
在概率論中，概率質量函式（probability mass function，簡寫為pmf）是離散隨機變數在各特定取值上的概率。
乙個概率質量函式的影象。函式的所有值必須非負，且總和為1。
（2）概率密度函式（連續性隨機變數）：
連續型隨機變數的概率密度函式（probability density function）（在不至於混淆時可以簡稱為密度函式）是乙個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函式。概率密度函式一般以大寫「pdf」（probability density function）標記。
連續型的隨機變數取值在任意一點的概率都是0。因此可以推，連續型隨機變數在區間上取值的概率與這個區間是開區間還是閉區間無關。要注意的是，概率p[x
=a]=
0\left[x=a\right]=0
p[x=a]
=0，但
\並不是不可能事件。
（3）小結：
概率質量函式和概率密度函式不同之處在於：概率質量函式是對離散隨機變數定義的，本身代表該值的概率；概率密度函式是對連續隨機變數定義的，本身不是概率，只有對連續隨機變數的概率密度函式在某區間內進行積分後才是概率。
圖中，橫軸為隨機變數的取值，縱軸為概率密度函式的值，而隨機變數的取值落在某個區域內的概率為概率密度函式在這個區域上的積分。當概率密度函式存在的時候，累積分布函式是概率密度函式的積分。
下面用思維導圖的方式，列出一維離散隨機變數和連續隨機變數的不同：
5. 隨機變數的數字特徵
關於隨機變數的理解
對於任何乙個數學概念的理解，我認為最重要的一步首先是理解其在數學上最標準的定義。當你要想把一件事情從邏輯上說得通時，第一步就是在給定雙方都認可的情況下去闡述你的觀點，好比辯論賽之所以正反雙方都能夠有自己的觀點並相互矛盾，其實很大程度上在於雙方對問題的定義出現了偏差。為更加準確無誤了理解概率論中最原始...
（三）隨機變數
1 分布函式 隨機變數 x x 是離散的，x role presentation style position relative x x取值1，2，3 2 累積分布函式 隨機變數 x x 是連續的，x role presentation style position relative x x取值在某...
對隨機變數的簡單理解
首先看下官方定義 隨機變數是從樣本空間投影到實數軸的乙個廣義的實值函式 對任意乙個樣本點w，存在唯一的實數x w 與之對應。我畫了下圖來解釋這個定義 當我們需要研究事件發生的概率時，引入隨機變數後，對事件概率的研究不再是重點，而是轉化為對隨機變數的研究。也就是說 舉個栗子 當我們要研究例如 那麼隨機...