紅黑樹是一棵帶拓展節點的平衡二叉樹，即某個節點若沒有左兒子，則新建乙個拓展節點作為左兒子。右兒子同理。拓展節點稱為外部節點，其餘節點稱為內部節點。
每個節點被染成紅色或黑色。其中
需要滿足的性質：
稱從節點 x
xx 出發，到其子樹內任意乙個外部節點路徑上的黑點數量為 x
xx 的秩（不包括 x
xx，但包括外部節點）。顯然外部節點的秩為 0
00。稱紅黑樹的秩為根節點的秩。
在修改操作中，需要維護紅黑樹的以下性質：
查詢操作則與普通的二叉查詢樹相同。
先將新節點插入到某乙個原來外部節點的位置，並將其染成紅色。此時原來內部節點的秩均沒有發生改變。
接下來檢查紅黑樹的性質是否滿足。
case 1
當前節點的父節點是黑色，則直接退出。
case 2
當前節點的父節點是紅色。此時分為幾種情況處理：
case 2.1
若叔父（父親的兄弟）節點是黑色，則通過旋轉進行調整。
若當前節點為 xxx：
對於不同的情況，把 x
xx 以及 x
xx 的父親和祖父的中位數旋轉到根節點。
若叔父節點是紅色，則通過改變顏色進行調整。
這樣便不會改變除了祖父以外的節點的秩。但可能會導致產生新的相鄰紅色節點，因此仍要繼續檢查並重複上述過程。
若待刪除節點的兩個兒子都是內部節點，則將其資訊與右子樹中鍵值最大的節點交換。此時需要刪除的節點至多只有乙個內部節點作為兒子。刪除 x
xx 的時候，若有內部兒子，則用內部兒子替換 x
xx，否則直接將 x
xx 替換成外部節點。現在分幾種情況討論，來維護紅黑樹的性質。
case 1
若 x
xx 是紅色節點，則直接刪除 xxx。
case 2
若 x
xx 是黑色節點，且有乙個兒子是紅色節點，則將 x
xx 替換成紅色兒子，並將其染成黑色。
case 3
若 x
xx 是黑色節點，且沒有紅色兒子，此時又分為三種情況。
case 3.1
若 xx
x 的兄弟節點 c
cc 為紅色。b
bb 為 x
xx 的父節點，則將 b
bb 旋轉使得 c
cc 變為根，然後將 b
bb 染成紅色，將 c
cc 染成黑色，轉化為 case 2 或 case 3 的情況。
若 xx
x 的兄弟節點 c
cc 為黑色，且沒有紅色兒子。則將 c
cc 染成紅色，將 b
bb 染成黑色。若 b
bb 原來也是黑色，則可能會導致 b
bb 的父節點的秩增加 1
11，需要繼續處理。
若 xx
x 的兄弟節點 c
cc 為黑色，且有紅色兒子 d
dd，此時又分為兩種情況：
若 xx
x 是 b
bb 的左（右）兒子，d
dd 是 c
cc 的右（左）兒子，即兩者異側。則通過單旋將 c
cc 變為根，同時繼承 b
bb 原來的顏色。然後將 b
bb 和 d
dd 染成黑色。
若 xx
x 是 b
bb 的左（右）兒子，d
dd 是 c
cc 的右（左）兒子，即兩者同側。通過雙旋將 d
dd 變為根，同時繼承 b
bb 原來的顏色。然後將 b
bb 染成黑色。
注文中的來自北大黃群老師開的數算實驗班中的課件。
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