紅黑樹下紅黑樹的實現

1. 實現紅黑樹的基本思想

實際上，紅黑樹是有固定的平衡過程的：遇到什麼樣的節點分布，我們就對應怎麼去調整。只要按照這些固定的調整規則來操作，就能將乙個非平衡的紅黑樹調整成平衡的。

首先，我們需要再來看一下紅黑樹的定義：

在插入、刪除節點的過程中，第

三、四點要求可能會被破壞，所以「平衡調整」，實際上就是把被破壞的第

三、四點恢復過來。

在調整過程中有兩個非常重要的操作，左旋（rotate left）和右旋（rotate right），左旋其實就是圍繞某個節點的左旋，而右旋就是圍繞某個節點的右旋。

2. 插入操作的平衡調整

紅黑樹規定，插入的節點必須是紅色的。而且，二叉查詢樹中新插入的節點都是放在葉子節點上。所以，插入操作的平衡調整，有這樣兩種特殊情況：

除此之外，其它情況都會違背紅黑樹的定義，於是我們就需要進行調整，調整的過程包含兩種基本的操作：左右旋轉和改變顏色。

紅黑樹的平衡調整是乙個迭代的過程，我們把正在處理的節點叫作關注節點，關注結點會隨著迭代的進行而不斷變化，最初的關注節點就是新插入的節點。

新節點插入後，如果紅黑樹的平衡被打破，那一般會有下面三種情況。我們只需要根據每種情況的特點，不停地調整，就可以讓紅黑樹繼續保持平衡。

為了簡化描述，我們把父節點的兄弟節點叫作叔叔結點，父節點的父節點叫作祖父節點。

case 1 ：如果關注節點是 a，它的叔叔結點 d 是紅色，我們就依次執行下面的操作：

case 2 ：如果關注節點是 a，它的叔叔結點 d 是黑色，關注節點 a 是其父結點 b 的右子節點，我們就依次執行下面的操作：

case 3 ：如果關注節點是 a，它的叔叔結點 d 是黑色，關注節點 a 是其父結點 b 的左子節點，我們就依次執行下面的操作：

3. 刪除操作的平衡調整

刪除操作的平衡調整分為兩步，第一步是針對刪除節點初步調整。初步調整是保證整棵紅黑樹在乙個節點刪除之後，仍然滿足第四條的定義。第二步是針對關注節點進行二次調整，讓它滿足紅黑樹的的第三條定義。

3.1. 針對刪除節點初步調整

經過初步調整後，為了保證紅黑樹的第四條要求，有些節點會被標記為兩種顏色，「紅-黑」或者「黑-黑」，如果乙個節點被標記為了「黑-黑」，那在計算黑色節點個數的時候，要算成兩個黑色節點。

下面，如果乙個節點既可以是紅色，也可以是黑色，我們用一半黑色一半紅色來表示。如果乙個節點是「紅-黑」或者「黑-黑」，我們用左上角的乙個小黑點來表示。

case 1 ：如果要刪除的節點是 a，它只有乙個子節點 b，我們就依次執行下面的操作：

case 2 ：如果要刪除的節點 a 有兩個非空子節點，並且它的後繼節點就是它的右子節點 c，我們就依次執行下面的操作：

case 3 ：如果要刪除的節點 a 有兩個非空子節點，並且它的後繼節點不是右子節點，我們就依次執行下面的操作：

3.2. 針對關注節點進行二次調整

經過初步調整之後，關注節點變成了「紅-黑」或者「黑-黑」節點，針對這個關注節點，我們再分四種情況來進行二次調整，二次調整是為了讓紅黑樹中不存在相鄰的紅色節點。

case 1 ：如果關注節點是 a，它的兄弟節點 c 是紅色的，我們就依次執行下面的操作：

case 2 ：如果關注節點是 a，它的兄弟節點 c 是黑色的，並且節點 c 的左右子節點 d、e 都是黑色的，我們就依次執行下面的操作：

case 3 ：如果關注節點是 a，它的兄弟節點 c 是黑色的， c 的左子節點 d 是紅色，c 的右子節點 e 是黑色，我們就依次執行下面的操作：

case 4 ：如果關注節點是 a，它的兄弟節點 c 是黑色的，並且 c 的右子節點是紅色的，我們就依次執行下面的操作：

4. 紅黑樹為什麼要求葉子節點是黑色的空節點？

之所以有這麼奇怪的要求，其實就是為了實現方便。只要滿足這一條要求，那在任何時刻的平衡操作就都可以歸結為上述的幾種情況。

下面我們來看乙個葉子節點如果不為黑色的情況。

當插入乙個紅色節點時，紅黑樹的定義就被破壞了，而這個時候這種情況也不滿足上述的三種情況。但如果我們加上黑色的空節點後，它就滿足 case 2 了。另外，我們也可以對每種情況的條件進行修改，但那樣的話規則就沒有原來那麼簡潔了。

另外，我們並不是給每個黑色的空的葉子節點都分配一塊記憶體，而是共用乙個就行，這樣也不會導致儲存空間的極大浪費。

5. 小結

參考資料-極客時間專欄《資料結構與演算法之美》

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