一直想對積分變換的內容做乙個比較系統的總結和歸納，可能是源於大學對訊號與系統的渣渣學習吧。
相信不管是做模擬，混合訊號還是射頻，《訊號與系統》都是基礎內容，且重要性極高，難度也很大，相信有不少從小抱著要從事ic設計這種高(搬)大(磚)上(工)專業或職業的人都栽在了學習訊號與系統的道路上，僥倖拿到60分的估計考完後再也沒有動力撿起來了，像我這種學渣，僥倖入了坑，才發現出來混遲早要還的。既然躲不過，那就硬著頭皮從頭來過咯。
我們先總括的把相關知識及相互關係和基礎知識羅列出來。
這裡不得不先聊聊尤拉，尤拉(leonhard euler，1707-1783)，生於瑞士。具有開掛的一生，在18世紀的科學史上留下太多傳說。興趣廣泛，成就也很多。其中在復變函式的尤拉公式(euler's formula)，更是基礎內容。
圖1
圖1中的尤拉公式，建立了復指數(complex exponential)和三角函式的關係。在數學、物理和工程中無處不在，我們要講的積分變換中會經常見到。該公式可以使用泰勒級數展開進行證明。其中當φ=π時，尤拉公式進化為尤拉恒等式(euler's identity)。這是數學中最令人著迷的公式。聯絡了自然常數e，圓周率π，虛數單位i、實數的0和1。高斯曾有過類似感嘆：「乙個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。」儘管我這榆木的腦袋，是沒有可能成為數學家啦，但不影響欣賞美的態度。
虛數單位i將實數擴充套件到復平面，尤拉公式把二維平面的點，從直角座標到極座標表示。這裡借鑑wikipedia繪出尤拉公式的三維圖，紅色螺旋線。其在re平面投影為cos余弦函式，在im平面投影為sin正弦函式。相信大家有學過電磁場會有印象，電磁波的傳播過程中，電場和磁場正交。其中紅色的部分的螺旋線也有點像dna的結構，很神奇。
圖2
對尤拉公式變型，可以將三角函式表示為復指數的形式，如圖3所示。
圖3
在18世紀中葉，尤拉在研究振動弦問題時，嘗試通過線性組合不同諧波的三角函式來表示質點振動問題。也經過激烈的討論，有了逐漸認識和完善的過程。其中就包括伯努利，拉格朗日、傅利葉等人。特別是傅利葉在不利的背景下。深入研究了該問題，特別是非週期訊號可以表示為不全成諧波關係的正弦訊號的加權積分。以此激勵人們更深入的研究該問題。為紀念傅利葉的突出貢獻，以他的名字命名了傅利葉級數和傅利葉變換。
週期為t的訊號，其傅利葉級數表示如圖4所示。傅利葉級數係數為ak，其中a0成為直流分量，a±1為一次諧波分量，a±k為k次諧波分量。
圖4
對於圖4的週期訊號傅利葉級數展開，相信大家對課本上的方波訊號的展開都有印象，這裡舉個三角波訊號，如圖5所示。其中實訊號的週期為2，在區間[-1,1]的定義為三角波。傅利葉級數係數的幅度如圖6所示。
圖5
圖6
圖5中例子，當k=0~7時，在乙個週期上，傅利葉級數的直流分量和余弦函式表示如圖6所示。
圖7
圖8給出了當k逐漸增大時，有限k項的級數和的逼近情況。
圖8
乙個例子怎麼能行，課本上有週期方波的傅利葉級數展開，這裡再給乙個台階訊號及其傅利葉級數逼近的過程。其中藍色為週期等於1的台階訊號，在t=0.25，0.75和1處存在不連續點。紅色為當k增大時，有限k項傅利葉級數表示的訊號，灰色是紅色在t-x(t)平面的投影。可以看到「吉伯斯現象」(gibbs phenomenon)。在間斷點處出現過衝和振盪。
圖9
當然，不是時域的任意訊號都能夠表示的傅利葉級數都是收斂的。需要滿足一定的條件。對於傅利葉級數的收斂條件，德國數學家，狄利克雷(dirichlet，1805~1859)於2023年發表了任意函式展開為傅利葉級數及收斂性的文章。也成為判斷傅利葉級數收斂的重要條件。
圖10先出"訊號"與"系統"的彙總關係圖。在時域我們基本能完成訊號與系統的所有操作。那麼通過積分變換，轉換到s域或z域。會有與時域不一樣的新特性，和運算的便利性。
圖10
三角恒等變換公式
誘導公式 奇變偶不變，符號看象限 無敵六邊形 其中有三組關係 和差角公式 二倍角公式 三倍角公式 半形公式 點鞭炮公式 cos theta cos2 theta cos4 theta cdots cos2 n theta sum n cos2 i theta dfrac alpha sin alph...
sin的傅利葉變換公式 正弦訊號傅利葉變換
設計功能 1.正弦訊號繪製 考慮到繪製的介面大小有限，所有訊號統一繪製四個週期，如果是兩個正弦相加或相乘，將會繪製頻率小的四個週期，每個週期都會在x軸顯示時間，單位秒，來表示不同頻率的訊號。即x t asin 2 fat 檢查時發現幅度顯示有誤，有機會會改。2.對兩個正弦訊號相加和相乘 可以選擇是加...
三角學 三角恒等變換公式推導
三角恒等變換是高中的乙個重要的知識，我是在預習時通過自己的方法推導了一遍，個人認為，這樣可以加深對其的理解。本文同時也作為一篇學習筆記。差角的余弦公式是三角恒等變換的一系列公式的基礎，推導出它，就為接下來的推導鋪平了道路。這裡使用向量，而不是普通的幾何方法。以下為推導過程。設在平面直角座標系 xoy...