首先從週期函式的傅利葉級數講起。
任何週期函式
也就是說任何乙個週期為
的函式都可以展開成週期為
的三角函式之和。
：利用三角函式和差化積的公式，公式
和下面的公式是等價的:
帶相位的公式在直覺上更加直觀，特別是配上教科書中矩形波展開成三角函式的。但是將相位轉換為正弦和余弦函式的係數在計算上卻變得簡便，因為三角函式系
是正交的，利用這個性質，係數就可以通過求內積的方法得到（函式正交和內積的概念可以將傅利葉級數和向量的分解聯絡起來）：
數學上還需要一些定理增加嚴謹性：狄利克雷收斂定理，但是大多數情況下我們只需要愉快的直接使用就可以了。對於有限區間上的函式，可以使用延拓的方法，非常好理解。
：但是如果這個函式在整個數軸上都是非週期的呢？其實這種情況對應頻率的連續分布。此時從傅利葉級數表示變成了傅利葉積分表示，也就是說：週期函式和有限區間上的函式是級數表示；無窮區間上的非週期函式是積分表示。
其中係數為：
上面的叫做傅利葉積分，別和傅利葉變換混淆了。（4）式的推導可以查教科書，形式上只需要將（1）式中的求和變為積分即可
。同樣需要一些數學上嚴謹性的保證：這邊的函式
，要求是絕對可積的。（有時候拿到乙個週期函式要求它的傅利葉係數，就想當然的帶入上面的公式，這是錯誤的。首先週期函式一般不是絕對可積的，其次週期函式使用正交的三角函式系展開。）
：為什麼傅利葉變換帶有虛數，且出現了負頻率？前面都是實數的形式，相對來說在腦海中可以構建出數軸的模型，但是最終傅利葉變換中突然就引入了虛數，這就是難理解的拐點之一，也就是憑什麼要多此一舉呢？因為我們真實世界中的訊號實函式就可以描述了，我們測量的所有物理量也是實數，我們對於實數有著天生的直覺，但是對於複數大多人其實懷有畏懼的心理。
你可以想象，如果數字用右邊的那一列表示，那麼進行數字的豎式運算，以及加減乘除會多麼的麻煩。強如拉馬努金，可能也很難通過右邊原始的數學符號，猜出那些神奇的等式吧。
傅利葉變換的複數形式為：
其中：
其實公式(6)(7)和公式(4)(5)之間是通過尤拉公式聯絡起來的。
尤拉公式：
由尤拉公式可得：
這個叫做傅利葉變換的公式：
,實際上代替了傅利葉積分表示中的
，而 則代替了
。當然這裡如果說得明白一點就可以自然理解負頻率出現的意義了，因為在傅利葉積分中，我們對頻率的積分是從零到無窮大，但是因為我們的正交函式系是三角函式系，頻率都是正的，但是這裡我們的基函式是
，而由尤拉公式
,所以對三角函式在正實軸的積分其實就是對在整個數軸上的積分，僅此而已
。所以說實數函式的能譜一定是正負頻率對稱的。
所以虛數的引入並沒有改變傅利葉積分的意義，這裡我覺得：
形式上簡化了，處理起來簡單了，理解上困難了，這就是複數在這裡的作用。我們大多數所說的能譜(功率譜)，實際上就是不關心傅利葉變換中的相位部分，只關心某種頻率成分的比重，這時候其實對應的就是傅利葉變換f的模。而複數的幅角實際上就是不同頻率成分的相位資訊。
以上就是從傅利葉級數——傅利葉積分——傅利葉變換，三者之間的聯絡。但是我們實際測量乙個連續的物理訊號的時候，得到的其實都是這個實際物理訊號在特定時間間隔的取樣，其次計算機在進行傅利葉分析的時候，每次積分只能得到某個頻率成分的比重，計算的頻率點增多，隨之的計算量也變得很大。於是就有了快速傅利葉變換fft，當然離散傅利葉變換dft和fft是兩個不同的概念，fft是dft的快速演算法，對取樣點有限制。這裡我們就講fft。
原來fft的具體實現，目前自己居然從未接觸過，只是在計算軟體中給出具體的實現函式。fft的具體推導過程可以在「訊號與系統」的參考書中找到。
最後就是廣義傅利葉變換了，這在偏微分方程教材中有，但是如何和前面的理解有機的結合在一起，形成乙個系統的知識體系，這是乙個問題。
難點四：在廣義傅利葉變換下，原先的一些週期函式諸如
函式也可以進行廣義傅利葉變換，變成
函式
。
在前面已經指出，對於週期函式沒有傅利葉變換，一般可以展開成傅利葉級數，係數可以表示成乙個週期內的積分。但是在廣義傅利葉變換中，傅利葉變換可以表示成頻域中的
函式。廣義函式的定義：函式空間到實數（或複數）空間的對映。
一般可以寫成這樣的形式：
這樣 就是乙個廣義函式，典型的廣義函式就是
函式，將乙個函式對映為在原點的取值。一些週期函式在這樣的定義下也是廣義函式，這要適當選取函式空間
可以保證定義中右邊的積分是收斂的。如果函式空間
中的函式都可以進行傅利葉變換，那麼變換後仍然可以構成乙個函式空間，那麼就可以把廣義函式的傅利葉變換轉移到實驗函式的傅利葉變換，也就是說：
可以給出以下關係的不嚴格的證明：
只需將f(t)換成delta函式，並根據delta函式的性質，就可以得到delta函式的傅利葉變換，當然這裡並沒有用到廣義函式的傅利葉變換的定義，所以這樣的證明當然是不嚴格的。這樣乙個簡單的關係，配合廣義傅利葉變換的時移，頻移，伸縮，求導等性質，可以得到很多常見函式的廣義傅利葉變換。
思考：乙個函式如果存在傅利葉變換，那麼它的廣義傅利葉變換和傅利葉變換是否一樣？
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