一、我們先來講兩個數學定理：
①a%b=c，則有(a+k∗b)%b=c
②如果a%b=c，那麼(a∗k)%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=k∗c(k>0)
二、我們設n1除以3餘2，n2除以5餘3，n3除以7餘2。
我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得n1+n2的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？
由定理①，我們可以做到。
如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2，n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。那麼就有下面的推導：
1、為使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3 必須是3的倍數。
2、為使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
3、為使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。
則為使n1+n2+n3
的和作為「孫子問題」的乙個最終解，需滿足：
1、n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
2、n2 除以5餘3，且是3和7的公倍數。
3、n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。
所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找乙個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找乙個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找乙個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。
在求n1，n2，n3時又用了乙個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找乙個除以3餘2的數，而是先找乙個除以3餘1的數，再乘以2。也就是先求出5和7的公倍數模3下的逆元，再用逆元去乘餘數。
這裡也很好理解，通過定理②，也就是先求m=m/mi的模3的逆，即mm^-1=1(mod mi)，但是我們要求的n1=2（mod 3），又mm^-12=2(mod mi)，因此n1=mm^-1*2。而n2、n3以此類推。
n1+n2+n3只是問題的乙個解，並不是最小的解，我們只需要從中模3，5，7的公倍數105即可。
三、這樣就得到了我們的解x=n1+n2+n3(mod 105)，即x=sum(mimi^-1ai)mod m(i=0,1,2……k)
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