中國剩餘定理

中國剩餘定理（crt）的表述如下

設正整數

有整數解。並且在模

其中具體證明如下：

找出所有整數x,使其被3，5和7除時，餘數分別為2，3和2

x≡2(mod 3)

x≡3(mod 5)=>x = △ + 357*t(△為期中的乙個解，t為整數）

x≡2(mod 7)

在同余中最重要的觀念就是求出第乙個解，那麼x = △ + 357*t就是通解。那怎麼求乙個解呢？

利用同餘的加性：

把x拆成a+b+c,即x = a + b + c

令a≡2(mod 3)

a≡0(mod 5)=>a=35p(可以看到p取1的時候滿足a≡2(mod3),即a=35)

a≡0(mod 7)

接下來要求b：

b≡0(mod 3)

b≡3(mod 5)=>b=21q(可以看到q取3的時候滿足b≡3(mod5),即b=63)

b≡0(mod 7)

求cc≡0(mod 3)

c≡0(mod 5)=>c=15m(可以看到m取2的時候滿足c≡2(mod7),即c=30)

c≡2(mod 7)

得x≡2(mod 3) ≡ a + b + c

x≡3(mod 5) ≡ a + b + c

x≡2(mod 7) ≡ a + b + c

a b c 都求出來之後，可以利用同餘的加性

x = a + b + c = 128是乙個解，x = 128 + 105t 在適當調整t之後就可以求出x在任何範圍內的解，比如說求最小正整數解，這時候t取-1，得x=23

利用同餘的乘性：

之前令x = a + b + c,用同餘的乘性之後x = 2a』 + 3b』 + 2*c』

a』≡1(mod 3)

a』≡0(mod 5) =>a』=35p(可以看到p取2的時候滿足a』≡1(mod3),即a』=70)

a』≡0(mod 7)

接下來要求b』：

b』≡0(mod 3)

b』≡1(mod 5)=>b』=21q(可以看到q取1的時候滿足b』≡1(mod5),即b』=21)

b』≡0(mod 7)

現在來看c』

c』≡0(mod 3)

c』≡0(mod 5) =>c』=15m(可以看到m取1的時候滿足c』≡1(mod7),即c』=15)

c』≡1(mod 7)

有了a』 b』 c』之後就可以得到 x = 2a』 + 3b』 + 2*c』

代入a』 b』 c』之後就可以得到x的乙個解及其通解

x = 270 + 321 +2*15

x = 233 + 105t

在知道同餘的加性和乘性之後再看下面這個公式就沒有什麼問題了

最後分享youtube上關於同餘加性和乘性的講解鏈結

加性：

乘性：

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