（行文未經整理，想到啥說啥）（純粹個人理解，望讀者指正）
即對一部分函式（積的出）進行操作，算出有較大利用價值的函式（原函式）。
積不出的函式數不勝數，積的出的函式的靈魂卻千篇一律。
靈魂體現在
不定積分第乙個公式應該就是
然後人們發現在
然後出現了
這也**於性質
從某種意義上說：
所以好玩的一點
於是可能暗示了
所以多項式臣服了。幾乎連作為試題的資格都沒了。
分式呢？試探性的：
好像沒戲。
大膽的話，可以寫成
這也是從一些可以因式分解得到的積分出來的經驗。
多項式，拆。
但覺得不太好。
而人們碰巧得到了乙個結論：
這是從圓**來的。機智的人發現了三角函式與
所以 就能出來了。
或許可以從積分原函式和積分原函式的反函式定義指數和三角函式呢。
而且上面的那個對應了
這應該也不算巧合。
有乙個地方：
從某種意義上類似於
考慮反函式的話，就可以寫出
之類的同時也加上
一類的函式。
有理函式，或者半次、整次分式函式，三角函式都能積出來。
半次用換元法變成整次。
分子次數比分母小的，就會有
出現，二次項不想看到
就用 分子次數不比分母小的，拆開完事。
over.
人們把常見的（高等數學**現的）不定積分都解決了。
如果把上面的東西總結下，就是切比雪夫判定定理
這種二次項微分式的積分，在當然除了這些函式，還有很多奇怪的函式是可積的（沒有靈魂）。至少有乙個為整數時可表示為初等函式。
求不定積分的兩個古老常用的方法：
湊微分法在於整理資訊，換元法在於消除無用資訊。
所以湊之前都要把無用資訊消掉再整理。
奇怪函式的奇怪的地方都被換元法消除了，因為本質上就不奇怪，就是有理函式那種。
當你看到
單獨出現的時候，應該果斷覺得不可積。
這種函式有些自閉，求導導不乾淨，還要積分8太可行。
有經驗的做題者，應該知道有些東西在積分、求導中不會消失。
比如 就像大哥，他一直在。在微分方程裡看上去消失了，但一直在。
甚至還可以保幾個小弟。
於是開始在技巧上下文章。
湊微分法是技巧的開端。
換元法、湊微分法可以看成符號上的技巧。
乙個不算是技巧的技巧：分部積分法
作用在於選擇簡單的資訊。在神看來是凡人的把戲。
這其實也是人們用的符號的問題。函式的原函式不太乾淨時，
就要用分部積分法，變成求導，這才是符號的正確利用方法。
所以很多特殊函式的積分不得不用這個方法。
當然變成級數，也算打破了符號的限制。
三角函式中還有所謂的萬能公式，原因在於三角函式的符號帶來了麻煩。
當然相比二次根式，三角的符號也算方便。
二次根式裡也還有乙個類似技巧：尤拉代換。
或者我之前的《含有二次根式的不定積分》。
虛調子：含有二次根式的不定積分（1）zhuanlan.zhihu.com
總之在積分運算中，函式符號越簡單簡單越好。
大概會發現
之類的三角函式，二次根號函式在分部下會出現迴圈。
這是因為對
求導也會出現迴圈。
迴圈資訊的處理也有技巧。這個一般是列表法統計方便。
重複資訊的處理可以用組合積分法。
反對冪三指，這個順序就很容易理解了。反函式的符號使用不便，所以使用分部的優先順序高。
三角函式又有分部上的迴圈，處理乾淨迴圈資訊重要。
三角函式還有很多技巧/結論，比如
型積分等。都是找到了重複資訊去掉。
有理函式gkd的話，一般有奧斯特洛格拉德斯基法。把有理函式不定積分資訊的核心完全提取出來了。
不定積分難題在於以下幾點：
資訊很多。比如
一般需要耐心，仔細地處理資訊。
資訊很少(很難找)。比如
說到這題，可能會遇到這麼乙個技巧：
還有乙個有名的技巧：倒代換
這兩者都是處理有理函式**現的方法。
前者可以合併分式中二次項和常數項的資訊，後者則調整次數。
所以這兩者某些時候可以同時用。
這也說明被積函式的次數有很大冗餘資訊。比如
次數雖然是
但「實際」次數應該為
光看次數沒用。2019次也不能說明很難。
資訊很離譜。比如
感覺就隨便寫的乙個積分竟然可以積出來。
這種題裡一定有乙個大哥!
顯然就是分母了，從被積函式的資訊可以得到結果的一部分資訊：
是某個小弟。
當然也不是什麼人都能當小弟。
首先小弟如果和大哥理念不合，直接拆在積分就完事了。不算是小弟。
在大哥的庇護下的話，就對大哥求求導，拎拎水分。
小弟一定是那種求導了和大哥相比看不出來大概的。或者小弟是就是大哥的水分。
當然，有人也想拓展不定積分的疆域。
是的，不定積分的疆域只和符號有關。
比如 這類用新的符號進行了定義。
我想**於
吧。然後對二次根式
進行了推廣：
對包含
的積分。
得到了橢圓積分類的符號。
然後還有一些特殊函式裡的不定積分（搞不出來的那種）。。
隨著新的工具的興起，人們對不定積分的興趣逐漸消失。
但古老的技巧仍在傳承。
之前的題放到下面這裡了：
虛調子：不定積分收集（1）zhuanlan.zhihu.com
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