翻了一下教材，似乎國內的教材很少有說列表積分法的。全都是到了分部積分就戛然而止了。雖然這樣也不是不行，但是在後面的習題中都會有連續幾次的分部積分法。這即使不讓人感到頭大也讓人感到繁雜無比。
除此之外，還有那些分部積分到一半就開始用代數方法解出積分的情況。更是讓人摸不著頭腦：我怎麼知道要這麼做？我怎麼知道到這一步要開始用代數方法？
實際上這一切，前者用列表積分便可以迎刃而解，後者用「半個」列表積分法（自己取的名字…）也能很簡單。不過對於後者，還會有一些巧妙的變化。
內容出自《托馬斯微積分》7.2分部積分一節。
首先來看一下普通的分部積分法：
對於因為分部積分法是
分出待會要處理的
和 。為了方便起見，就寫出代表的 和 :
則：按照分部積分法的公式帶入，則有：
如果要再來一次分部積分法呢？
顯然，如果取
,那麼待會取
和 的時候就回到之前的積分去了。於是只能之前取了微分的繼續微分，取了原函式的繼續原函式。那接下去再來一次。
為了使結論明顯直觀，把
的原函式
不規範（不規範！不規範！不規範！！！）的用
來表示求了一次原函式，
表示求了兩次原函式。則第一次分部積分有：
接下來確定 和 :
則：按照分部積分法的公式帶入，則有：
可以注意到幾點：
1)、選擇出誰求導誰積分之後，求導的會一直求導，積分的會一直積分。
2)、函式直接相乘的項，求導的次數始終比積分的次數少一，或者說積分的次數比求導的次數多一。
3)、由於有乙個負號，那麼函式直接相乘的項的負號就應該是：
4)、剩下乙個未完成的積分項，這個積分項中求導的函式的次數和積分的函式的次數相等。
第4)點得注意了，如果乙個求導到零了，那麼它就不存在了。就前面函式相乘的結果就是積分的結果。如果最後未完成的積分恰好是要求的積分式！那麼就可以用代數的方法解出來。
在上一段話中先考慮前者，即兩個函式中有乙個能求導到零。那麼對另乙個就是能積分「用於求導的函式求導到零的次數」那麼多次。比如某乙個函式第三次求導到零，那麼另外乙個函式應當能「堅持」積分三次。滿足這些要求就可以用列表積分法了。然後將函式按照以下方式列出來：
（空格空格）
那麼，原積分就等於：
將上面四行每行對其排列著，然後劃箭頭：
這樣連起來，然後在上面標上
，這樣會變得很明顯：
這只是乙個三次求導到零的情況，四次五次都可以。
這麼這麼看來，選擇進行列表積分條件就很清晰了：
1)、某乙個函式能求導到零
2)、另乙個函式能比較簡單的積分和求導的函式那麼多次。
可見：、
都是這樣的經典型別（函式型別無論正弦還是余弦都可以，不再分別舉例，下同）。除此之外當然還有其他型別的，比如
、 .具體的可參見我的文章：
秋分丿：72道積分題 略詳解析（51-72）zhuanlan.zhihu.com
例：
對於後者，即最後未完成的積分式恰好是需要求的積分式，則使用半個列表積分法。
什麼情況下最後未完成的積分式恰好是需要求的積分式？最經典的情況就是：
稍微思考一下就知道，
無論求導還是積分都是不會變的，而
兩次積分或者求導之後便會變回之前的樣子，這樣的話就有了未完成的積分式恰好是需要求的。半個分部積分的操作模板與上面的很像，只是最後多了乙個橫著的「
」表示最後那乙個積分。
如此看來，使用半個列表積分的條件也很明顯了：
要麼乙個函式求導之後不變，另乙個函式積分之後函式形式迴圈（積分和求導的函式可交換）；要麼兩個函式積分和求導都迴圈。
經典的題目型別就是：
除此之外還有
，不過這類的題目也可以不用列表積分法求解，而是用積化和差求解。具體的可見我的文章：
秋分丿：72道積分題 略詳解析（21-30）zhuanlan.zhihu.com
例：
似乎在題頭的時候說了「不過對於後者，還會有一些巧妙的變化。」
實際上，半個列表積分法不只是可以處理最後未完成的積分式與要求的積分式一樣的情況。更深層的，前兩種方法實際上都是在對最後一項未完成的積分項做文章：要麼最後一項積分項為零，要麼最後一項積分項和所求相同。
但是忽視了最簡單的一種情況，（似乎）也是分部積分最初的目標：最後一項積分項能積、易積即可。最後一項積分項為零當然是易積的，但是易積絕不止為此。如接下來這題，就很巧妙：
若以 求導
積分，則有：
積分的項再積分的話發現正是要求的積分，不能再往下積了。但是左邊的恰好又是
，這樣一來，就又出現了要求的積分。半個列表積分法就安排的妥妥的。 若以
積分 求導，則有：
求導的發現求導無止盡，越求導離「0」和原來的函式形式越遠。但是驟然發現，求導和積分剩下的都是冪函式！這明顯是很容易積分的。那麼，果斷使用半個積分法。
除此之外，
也可以同樣的用這樣的方法求解，對
求導，對 「
」積分，用上的半個列表積分法也能同樣解決問題。但是完全沒有必要了…
讀者可以嘗試
,分別嘗試選用不同的函式求導和積分，與
有異曲同工之妙。
一眼看出到底是用求導到零的列表積分法，還是迴圈的半個列表積分法固然是好，這也是乙個求積分的方向。特別是當看見某個乘積中的函式可以求導到零時，看見出現三角函式指數函式時，應當敏感的找到這個方向。
但是「巧妙的半個列表積分法」可以讓人意識到，列表積分法應該是隨心所欲的。熟練的話，就完全可以拋掉那些條條框框，只需要做到：嘗試一下列表積分法吧。然後選擇兩個準備要求導和積分的函式，在草稿本或者腦子裡求一列導，求一列積分。觀察一下兩列的函式變化以及關係，就可以從容的選擇出接下來要做的步驟。
訊號與系統sa函式求積分 訊號與系統
toc 一 訊號與系統概論 1.訊號與系統的研究內容是什麼 2.訊號如何描述 分類和運算 描述函式表示式 圖形描述 分類模擬 數字 週期 非週期 功率 能量 確定 隨機 運算自變數 因變數自變數 因變數 3.訊號如何分解，有何意義 4.如何建立系統模型，如何分類 5.什麼是線性時不變系統，有何意義 ...
訊號與系統sa函式求積分 微積分發展史12 原函式
知道了 積分和微分是互逆運算 能給我們帶來什麼呢？答案是 多一種選擇。因為既然積分和微分是互逆運算，那麼有些操作如果積分不擅長，我就可以把它丟給微分。什麼意思？還是以最開始求曲線圍成的面積為例。我們是這樣求拋物線y x 與x軸在0到1之間圍成面積的 如果用n個矩形去逼近，每個矩形的底就是1 n，n個...
訊號與系統，系統函式的影響
1 系統函式的零極點對系統頻率特性有何影響？極點會使調節時間變短，是系統反應更快，但是也會百使系統的穩定性變差，零點一般是使得穩定性增加，但是會使調節時間變長 極點主要影響頻率響應的峰度值，極點愈靠近單位圓，峰值愈尖銳 零點主要影響頻率特性的谷值，零點愈靠近單位圓，谷值愈深 當零點在單位圓上時知，頻...