在機械人的控制和軌跡規劃等領域，演算法結果常常能夠得到機械人執行器的速度，如移動機械人的角速度和線速度。在有些**情況下，或是其它需要實時更新機械人的運動狀態時，我們常常需要根據這些計算出的速度引數（控制率）對機械人的位姿姿態進行更新。這就涉及到了角速度與旋轉矩陣之間的對應轉換關係。本文將簡要給出一種它們之間的轉換關係，並在後半部分著重介紹轉換出的姿態矩陣在不同情況下的左乘、右乘的不同意義，這一問題也曾經讓作者混淆了很久。
這裡主要以peter corke的視覺伺服工具箱中給出的轉換方法為例，事實上，更為詳盡的轉換方式可以去了解一下指數對映關係，可以參見白老師的文章《 lie group and computer vision : 李群、李代數在計算機視覺中的應用》。
我們知道，乙個變數的導數等於它本身再乘以乙個係數。對於三維空間中的旋轉矩陣來說，有如下表示式： r˙
(t)=
s(ω)
⋅r(t
)
其中，s(ω
) 為關於角速度
ω 的反對稱矩陣： s(
ω)=⎡
⎣⎢0ω
z−ωy
−ωz0
ωxωy
−ωx0
⎤⎦⎥
考慮在r(t
) 處進行微分： r˙
≈r(t
+△t)
−r(t
)ζt
r(t+△t)
≈ζt⋅
s(ω)
⋅r(t
)+r(
t)≈(
ζts(
ω)+i
3×3)
)⋅r(
t)
因此，矩陣△r
=ζts
(ω)+
i3×3
即為角速度
ω 對應的旋轉矩陣。
對於線速度
v 來說，在一定時間
t內，所導致的座標系的變化只有平移沒有旋轉。因此，速度引數（控制率）v 和
ω所對應的位姿變換矩陣△t
為： △t
=[ζt
⋅s(ω
)01×
3ζtv
0]+i
4×4
當需要把位姿變換矩陣△t
轉換為速度引數v 和
ω時，按照上面的步驟反著來就行了。
1. 問題描述
上述控制率與位姿變換矩陣的轉換關係在視覺伺服工具箱中對應於 delta2tr(
v )和tr2delta(t0
,t1 )這兩個函式。書中給出了乙個具體的例子：
這個示例我們記為例1。從上面我們可以看出，經過轉換出的位姿變換矩陣△t
=del
ta2t
r（d）
最終被t0
左乘能夠得到t1
的值。 但是在具體的例程**中，如下面工具箱中的視覺伺服**的**：
我們看到，位姿變換矩陣△t
=del
ta2t
r（d）
是被攝像機位姿tc
am右乘來實現位姿更新的。
除了這個視覺伺服工具箱外，在visp開源庫中，攝像機的姿態也是通過
右乘來實現的：
函式direct(v_sat,delta_t)為利用指數對映將速度引數v_
sat 轉換為位姿變換矩陣△t
。 這兩個例子我們記為例2。那麼為什麼有些情況下是左乘，有些情況下是右乘，這兩者之間又有什麼區分呢？
2. 左乘與右乘的不同情況及意義
首先來說例1中的左乘。對於左乘的情況，需要弄清楚的一點是，例1中t0
、t1 表示的是目標姿態在相同的參考座標系（預設為世界座標系）下的表示，因此，在這個例子中 tr2delta（d）求出的速度引數
v 也是表示在這個座標系下的。
所以，速度引數
v對應的姿態轉換矩陣△t
=del
ta2t
r（d）
也是相對於這個世界座標系來表示的。因此，當從狀態t0
轉換到狀態t1
時，需要被t0
左乘（如果不理解為什麼在世界座標系下的速度對應的矩陣需要左乘，可以自己假想一下下面的場景）： 位姿t
0 和位姿t1
都是在世界座標系下表示的，在t0
位姿時，使其以速度
v 進行運動，其對應的姿態轉換矩陣為△t
。考慮乙個虛擬的與世界座標系cw
orld
重合的座標系
b ，假定t0
在座標系
b 中固定不動，那麼姿態變化矩陣△t
相當於座標系
b 在世界座標系cw
orld
下的表示。即： wo
rldt
b=△t
因此，通過連桿矩陣相乘，可以得到： t1
=wor
ldtb
⋅bt0
=△t⋅
t0其次再說右乘。例2中演算法所求出的攝像機運動速度
v 均是相對於當時攝像機自身座標系來說的。因此，根據連桿矩陣變換，可以得到： t1
=t0⋅
△t此外，右乘這種情況也可以這樣理解：
攝像機的執行速度對應的位姿轉換矩陣△t
可以理解成目標新的位姿t1
在當前位姿t0
所在的座標系下的表示。比如，假定目標當前處於原點(0,0,0)的位置（自身座標系），線速度為(5,0,0)，那麼當一定時間過去後，目標（新的位姿）是不是位於(5,0,0)處（原自身座標系）？
所以，同樣的對於速度引數轉換得到的位姿變換矩陣，要注意分清楚這個速度引數v是在哪個座標系下表示的，才能決定我們是左乘/右乘這個矩陣。
對於例1 中，如果要求取相對於t0
位姿自身座標系cc
am的速度v1
，那麼該如何求？
1. 計算t1
在t0 自身座標系cc
am下的表示t∗
1 ；
2. 計算t∗
1 與單位矩陣i4
×4（t
0 在自身座標系下的位姿是單位陣i4
×4）的所對應的
v 。
利用視覺伺服工具箱簡單驗證一下：
>> t0 = transl(1,2,3)*trotx(1)*troty(1)*trotz(1);
>> t1 = t0
*transl(0.01,0.02,0.03)*trotx(0.001)*troty(0.002)*trotz(0.003)
t1 =
0.2889 -0.4547
0.8425
1.0191
0.8372 -0.3069 -0.4527
1.9887
0.4644
0.8361
0.2920
3.030100
01.0000
>> t1_in_0=inv(t0)*t1;
>> i=eye(4);
>> v=tr2delta(i,t1_in_0);
>> v'
ans =
0.0100 0.0200 0.0300 0.0010 0.0020 0.0030
理解**於研一機械人學課件中「右乘聯體左乘基」這句話，所以說學過的基礎知識一定要學紮實，不然之後就有可能被一些不起眼的細節知識絆住☺。
個人理解，如有錯誤請指出
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