設a座標系基向量向b系變換的旋轉矩陣為rba
r_b^a
rba
，平移向量為tba
t_b^a
tba
。則可知投射關係有：b系內座標點到a系的旋轉投射為rba
pb
r_b^ap_b
rbapb
，b系內座標點到a系的平移投射由a系基向量表示為tba
t_b^a
tba
。即：pa=
rbap
b+tb
ap_a=r_b^ap_b+t_b^a
pa=rb
apb
+tb
a式中：p
ap_a
pa：p點在a系的座標表示；
p
bp_b
pb：p點在b系的座標表示；
r ba
r_b^a
rba
：a係向b系的旋轉，或 b系內點到a系的旋轉對映；
t ba
t_b^a
tba
：a系（原點）向b系（原點）的平移，或理解為b系內點經過初步旋轉變換使得各軸方向與a系各軸保持一致後，到a系的平移投射（由a系基向量表示）；
那麼，其逆變換 a系中某一點p投射到b系有如下關係：
p b=
(rba
)−1(
pa−t
ba
)p_b=(r_b^a)^(p_a-t_b^a)
pb=(r
ba)
−1(p
a−t
ba)
旋轉矩陣為正交陣，所以：
( rb
a)−1
=(rb
a)
t(r_b^a)^=(r_b^a)^
(rba)
−1=(
rba
)t則：pb=
(rba
)t(p
a−tb
a)
p_b=(r_b^a)^(p_a-t_b^a)
pb=(r
ba)
t(pa
−tb
a)按結合率有：
p b=
(rba
)tpa
−(rb
a)tt
ba
p_b=(r_b^a)^p_a-(r_b^a)^t_b^a
pb=(r
ba)
tpa
−(rb
a)t
tba
模擬通用座標變換形式pb=
rabp
a+ta
bp_b=r_a^bp_a+t_a^b
pb=ra
bpa
+ta
b，所以有如下關係：
r_a^b=(r_b^a)^ \\ t_a^b=-(r_b^a)^t_b^a \end \right.
= \left[\begin r_b^a &t_b^a \\ \hline 0 & 1 \\ \end\right]^= \left[\begin (r_b^a)^ &-(r_b^a)^t_b^a \\ \hline 0 & 1 \\ \end\right]
tab=(
tba
)−1=
[rba
0t
ba1
]−
1=[(
rba
)t0
−(rb
a)t
tba
1]
式中：tab
t_a^b
tab
：b座標係向a座標系的運動變換齊次座標矩陣；
t ba
t_b^a
tba
：a座標係向b座標系的運動變換齊次座標矩陣。
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