給你乙個可裝載重量為w的揹包和n個物品，每個物品有重量和價值兩個屬性。其中第i個物品的重量為wt[i]，價值為val[i]，現在讓你用這個揹包裝物品，最多能裝的價值是多少？
舉個簡單的例子，輸入如下：
n = 3, w = 4
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
演算法返回 6，選擇前兩件物品裝進揹包，總重量 3 小於w，可以獲得最大價值 6。
題目就是這麼簡單，乙個典型的動態規劃問題。這個題目中的物品不可以分割，要麼裝進包裡，要麼不裝，不能說切成兩塊裝一半。這也許就是 0-1 揹包這個名詞的來歷。
解決這個問題沒有什麼排序之類巧妙的方法，只能窮舉所有可能.
動規標準套路
第一步要明確兩點，「狀態」和「選擇」。
先說狀態，如何才能描述乙個問題局面？只要給定幾個可選物品和乙個揹包的容量限制，就形成了乙個揹包問題，所以狀態有兩個，就是「揹包的容量」和「可選擇的物品」。
再說選擇，對於每件物品，你能選擇什麼？選擇就是「裝進揹包」或者「不裝進揹包」。
明白了狀態和選擇，動態規劃問題基本上就解決了，只要往這個框架套就完事兒了：
for 狀態1 in 狀態1的所有取值：
for 狀態2 in 狀態2的所有取值：
for ...
dp[狀態1][狀態2][...] = 擇優(選擇1，選擇2...)
dp陣列是什麼？其實就是描述問題局面的乙個陣列。換句話說，我們剛才明確問題有什麼「狀態」，現在需要用dp陣列把狀態表示出來。
首先看看剛才找到的「狀態」，有兩個，也就是說我們需要乙個二維dp陣列，一維表示可選擇的物品，一維表示揹包的容量。
dp[i][w]的定義如下：對於前i個物品，當前揹包的容量為w，這種情況下可以裝的最大價值是dp[i][w]。
比如說，如果 dp[3][5] = 6，其含義為：對於給定的一系列物品中，若只對前 3 個物品進行選擇，當揹包容量為 5 時，最多可以裝下的價值為 6。
ps：為什麼要這麼定義？便於狀態轉移，或者說這就是套路，記下來就行了。
根據這個定義，我們想求的最終答案就是dp[n][w]。base case 就是dp[0][…] = dp[…][0] = 0，因為沒有物品或者揹包沒有空間的時候，能裝的最大價值就是 0。
細化上面的框架：
int dp[n+1][w+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0
for i in [1..n]:
for w in [1..w]:
dp[i][w] = max(
把物品 i 裝進揹包,
不把物品 i 裝進揹包
)return dp[n][w]
簡單說就是，上面偽碼中「把物品i裝進揹包」和「不把物品i裝進揹包」怎麼用**體現出來呢？
這一步要結合對dp陣列的定義和我們的演算法邏輯來分析：
先重申一下剛才我們的dp陣列的定義：
dp[i][w]表示：對於前i個物品，當前揹包的容量為w時，這種情況下可以裝下的最大價值是dp[i][w]。
如果你沒有把這第i個物品裝入揹包，那麼很顯然，最大價值dp[i][w]應該等於dp[i-1][w]。你不裝嘛，那就繼承之前的結果。
如果你把這第i個物品裝入了揹包，那麼dp[i][w]應該等於dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]。
首先，由於i是從 1 開始的，所以對val和wt的取值是i-1。
而dp[i-1][w-wt[i-1]]也很好理解：你如果想裝第i個物品，你怎麼計算這時候的最大價值？換句話說，在裝第i個物品的前提下，揹包能裝的最大價值是多少？
顯然，你應該尋求剩餘重量w-wt[i-1]限制下能裝的最大價值，加上第i個物品的價值val[i-1]，這就是裝第i個物品的前提下，揹包可以裝的最大價值。
綜上就是兩種選擇，我們都已經分析完畢，也就是寫出來了狀態轉移方程，可以進一步細化**：
for i in [1..n]:
for w in [1..w]:
dp[i][w] = max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]
)return dp[n][w]
我用 c++ 寫的**，把上面的思路完全翻譯了一遍，並且處理了w - wt[i-1]可能小於 0 導致陣列索引越界的問題：
int knapsack(int w, int n, vector& wt, vector& val) else }}
return dp[n][w];
}
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