許久不寫部落格，趁著五一假期複習一下前面的知識點。
積分的形式一般是這樣的：
$\int_lf(x,y)\mathrm ds$
我們按兩種方式，一步步分解。
先考慮簡單情況，按照二元函式討論第一類曲線積分：
$f(x,y)$
這個函式表示了三維座標系中的乙個平面，應該不難理解。
隨便畫的 \(f(x,y) = \sin(x) \sin(y)+2\)
所以函式 \(f(x,y)\) 在這裡的含義是：點\(f(x_a,y_a)\) 到 \(xoy\) 平面的距離（高度）。
那我們的積分區域是 \(l\).這是代表了什麼呢？
位於下面 \(xoy\) 平面的小弧線就是我們的積分區域 \(l\) 了。對應的 \(\mathrm ds\) 微元切割也能很容易地理解。
（如果不能理解那說明你的前置課程需要鞏固一下了）
所以根據 \(f(x,y) \times \mathrm ds\) 可以理解為圖中小豎條面積。因此取極限求和之後就會得到這一塊積分區域下的異形曲面的面積了。這樣我們把曲線積分變又回到了熟悉的曲線下面積的理解上來了。
而教材上面使用的線密度定義又是怎麼來的呢？
假如我們將整個曲線（積分區域）壓縮回二維（俯檢視），那麼 \(f(x,y)\) 去了**呢？
（麻煩各位自己想象一下把 \(x\) 軸拍扁的樣子。。。不想做**了）
現在想象 \(xoy\) 平面的俯檢視上面的一條線，這代表了我們需要的積分區域 \(l\) 。在這裡我們可以巧妙地將第三維對映到顏色上，用它來表示線密度。
因為我有點紅綠色弱，所以我想規定：
$$顏色越紅則線密度高，顏色越藍則線密度低。中間色為紫色。$$
所以我們可以得到一張鋪滿整個二維座標系的彩色的函式（只有紅色和藍色以及中間色紫色）。上面的每個點有三個座標：x位置，y位置，顏色。寫到函式裡面看起來像這樣：
$顏色 = f(位置x,位置y)$
$\rho = f(x,y)$
記得影象上面那一條代表了積分區域 \(l\) 的線嗎？我們只需要沿著這條線對著顏色（密度）積分就能得到曲線積分了。
為什麼我想用顏色視覺化函式呢？因為好看啊！理解了曲線積分是怎麼一回事之後我們就可以著手開始計算了。
形式只需要記住：
$\int_lf(x,y)\mathrm ds = \int_l f(x,y)\sqrt$
即可開始計算
我是怎麼理解的？或者可以寫成引數方程的形式：後面的 \(ds\) 就相當於對弧長求微分，對弧長微分用直角三角形求長度就可以了。也不知道對不對
$\int_lf(x,y)\mathrm ds = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt$
注意：
曲線積分的下限一定小於上限。
如果曲線 \(l\) 平行於x或y座標軸，則把函式中的y或x變為常數。
絕大部分都需要轉化為引數方程計算。一般會需要使用到：
$\cos x^2 + \sin x^2 = 1$ （記得配方變形）
x^2 + y^2 = a \rightarrow r=a\cos\theta
熟悉計算後就像一般積分一樣容易，只是多一步代換或者變形。
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