橢圓曲線是域上虧格為1的光滑射影曲線。對於特徵不等於2的域，它的仿射方程可以寫成：y^2=x^3+ax^2+bx+c。複數域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼面。mordell證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群，這是著名的bsd猜想的前提條件。阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣
橢圓曲線的普通方程為
橢圓曲線上的點全體構成乙個加法群。
注:在數學中，群是一種代數結構，由乙個集合以及乙個二元運算所組成。已知集合和運算(g,*)如果是群則必須滿足如下要求
封閉性：∀a,b∈g，a*b ∈ g
結合性： ∀a,b,c∈g ，有 (ab)c = a* (b*c)
單位元：ョe∈g， ∀a ∈g，有ea = ae = a
逆元： ∀a ∈g ，ョb∈g 使得 ab = ba = e
橢圓曲線上的點構成加法群,那麼橢圓曲線上的有理點是有限生成的，另一方面，橢圓曲線上的整數點只有有限多個(我也不懂》!
如果已知p(x1,y1)和q(x2,y2)，如何求r
解:設有p和q構成的直線方程f為
y=a*x+
那麼p+q可以表示為(x3,-(a*x3+))
那麼 x3=((yq-yp)/(xq-xp))^3-xp-xq
y3=-yp+((yq-yp)/(xq-xp))*(x1-x3)
由此得出l如果p(x1,y1),q(x2,y2)，則p+q=(x3,y3)為
x3=k^2-x1-x2(mod p)
y3=k(x1-x3)-y1(mod p）
其中如果p!=q 那麼k=(y2-y1)/(x2-x1)
如果p==q 那麼k=(3*x1^2+a)/(2*y1)
(其中a為y^2=x^3+a*x+b中的x的係數,p滿足4*a^2+27*b^2 mod p !=0)
這裡以y^2=x^3-x為例初始點為(2，7)，方法是ip=(i-1)p+p;
#include#include#includeusing namespace std;
//計算橢圓曲線的程式
int a=1;
int b=6;
int p=11;//mod p
int x[10][2]=;
//初始方程的為y^2=x^3+x+6
//通過快速冪求出乙個數的逆
//a-1=a^p-2 mod p
int mod(int a,int b,int c)
return sum;
}int calculate_k(int xp,int yp,int xq,int yq)
int main(int args,char *ar**)
cout<
for(int i=1;i<=9;i++)
cout<
}
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