定積分的概念與性質

目錄

1定積分的概念

1.1定積分的定義

1.2定積分定理

2 定積分的性質

性質1 線性運算性

性質2 積分可加性

性質3性質4 比較定理

性質5 估值定理

性質6 積分中值定理

設函式f(x)在[a,b]上有界，用分點a= x0

< x1

< x2

xn-1

< xn

=b 將區間[a, b]任意分成n個小區間:x0,

x1, x

1, x2

, … [

xn-1, x

n],第i的小區[

xi-1, x

i]的長度為∆xi=

xi- x

i-1 , 在其上任取一點ξ

i, 作乘積f(ξ

i) ∆x

i (i = 1,2,…n), 並作和

如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論ξiϵ[

xi-1, x

i] 怎樣取法， 極限

其中∫稱為積分號，f(x)稱為被積函式，f(x)dx稱為被積表示式，x稱為積分變數，[a, b]為積分區間， a和b稱為積分下限和積分上限，

積分的定義包含了「分割，近似代替，求和，取極限」這樣乙個過程，其思想是化整體為對區域性進行累積，在區域性將變數近似為常量，再計算極限將近似轉化為精確，其過程充分體現了整體與區域性，變數和常量，近似與精確，量變與質變等矛盾對立統一的辯證法。

定理1設f(x)在[a, b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

定理2設f(x)在[a, b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

當a=b時，

當a >b時，

k2為兩個任意常數，則

不論a,b,c的相對位置如何，上述等式總成立。

若在[a,b]上，f(x) ≥ g(x), 則

若在[a,b]上，f(x) ≥0,  

設m和m分別是函式f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，則：

若f(x)在[a,b]上連續，則在[a,b]上至少存在一點ξ， 使得

積分中值定理的幾何意義是：在[a,b]上至少存在一點ξ， 使得以區間[a,b]為底邊，以f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等於同一底邊而高為f

ξ的乙個矩形的面積。如下圖

漫步微積分三十 定積分的性質

在前面的章節我們考慮了曲線y f x 下方和x a,x b 之間圍成區域的面積，還有兩個假設分別是 1 f x 0 2 a b 然而通過逼近和的極限來定義定積分的公式即 b af x dx limmax xk k 1nf x k xk 1 不依賴於這兩個假設。例如，假設曲線位於 x 軸下方，如圖1左...

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