在前面的章節我們考慮了曲線y=
f(x)
下方和x=
a,x−
b 之間圍成區域的面積，還有兩個假設分別是(1
)f(x
)≥0;
(2)a
<
b 。然而通過逼近和的極限來定義定積分的公式即 ∫b
af(x
)dx=
limmax
δxk→
∞∑k=
1nf(
x∗k)
δxk(1)
不依賴於這兩個假設。
例如，假設曲線位於
x 軸下方，如圖1左邊所示。在這種情況下，我們會質疑說曲線下邊的區域，但我們肯定可以用曲線，x軸在
x=a,
x=b 圍成的區域來描述他。(1)中的每一項顯然是負的因為f(
x∗k)
<
0 。因此，f(
x∗k)
<0δ
xk是陰影矩形面積負值，該區域面積的積分是負值，因此 ar
eaof
ther
egio
n=−∫
baf(
x)dx
同樣，如果曲線部分在
x 軸上部，部分在下部，如圖1右所示，那麼積分(1)可以看做正項和負項的和，對應與
x軸上面和下面的部分： ∫b
af(x
)dx=
a1−a
2+a3
−a4(2)
其中面積a1
,a2,
a3,a
4 都是正的。積分(2)經常稱作區域的代數面積，因為在計算面積是，位於
x 軸上方的取正，位於下方的取負。如果每部分都取正數的話，得到的是幾何面積： a1
+a2+
a3+a
4=∫c
a−∫d
c+∫e
d−∫b
e(3)
為了求出幾何面積，我們必須畫出影象，得到交點然後分別計算(3)右邊的每個積分，這樣的話就能得到正確的符號組合。
圖1
如果我們去掉條件
a<
b 而用相反的假定
a>
b ，我們仍然可以保留定積分的純數字定義(l)。因為我們從
a 到
b遍歷區間，所以增量δx
∗k為負，這是唯一的變化。由此得到方程 ∫b
af(x
)dx=
−∫ab
f(x)
dx(4)
對於所有的a,
b(a≠
b)都是成立的。另外，因為(4)表明交換積分的上下限會改變積分的符號，所以很自然得出 ∫a
af(x
)dx=
0(5)
如果a<
b ，
c 是a,
b間的任何乙個數，根據(1)很容易得到 ∫b
af(x
)dx=
∫caf
(x)d
x+∫b
cf(x
)dx(6)
性質(4)(5)告訴我們(6)對任意的三個數a,
b,c 都成立，不管他們互相之間是否存在關係。
根據定義(1)，我們進一步列出了一些定積分的性質： ∫b
acf(
x)dx
∫ba[
f(x)
+g(x
)]dx
iff(
x)≤g
(x)o
n[a,
b],=
c∫ba
f(x)
dx=∫
baf(
x)dx
+∫ba
g(x)
dxth
en∫b
af(x
)dx≤
∫bag
(x)d
x(7)
(8)(9)
換句話說，性質(7)表示常數因子可以移到積分符號外邊，(8)表示和的積分等於單個積分的和。
在書寫定積分時，我們將
x 作為積分變數 ∫b
af(x
)dx(10)
然而，(10)是乙個固定的數，其值並不取決於用哪個字母來表示變數。除了(10)，我們同樣可以寫為 ∫b
af(t
)dt∫
baf(
u)du
或任何類似的表示式，其意義都是一樣的。用這種方式表示的字母通常被稱為虛擬變數。
在大多數情況下，使用什麼字母都無所謂，只要想法理解清楚就行。然而，有時我們想要通過積分給定的函式f(
x)來構建乙個新函式f(
x)，積分下限為
a ，上限是乙個變數，如下所示 f(
x)=∫
xaf(
x)dx
(11)
很明顯這種用法可能會造成混淆，因為右邊的字母
x 有兩種不同的含義：積分上限，虛擬變數。為此，習慣上，我們將(11)寫成以下形式 f(
x)=∫
xaf(
t)dt
(12)將t
作為虛擬變數代替x
(12)定義的函式f(
x)具有兩個重要的性質。首先，只要被積函式是在a,
x 區間上是連續的，那麼積分肯定存在。第二，此函式的導數是被積函式上限的值： dd
xf(x
)=dd
x∫xa
f(t)
dt=f
(x)(13)
對於任何給定的連續函式f(
x)，為了找出不定積分，它提供了令人滿意的理論解。作為乙個實際的問題，可能很難(甚至是不可能)用任何熟悉的函式來計算 ∫f
(x)d
x=f(
x)但是，即使我們找不到f(
x)的公式，至少我們知道，原則上連續函式的不定積分總是存在的，即(12)定義的函式。
例1：找出下面不定積分問題的乙個顯式公式 ∫d
xx10+
1−−−
−−−√
3=f(
x)現在我們無法解決，並且將永遠無法解決。然而，如果我們不需要乙個顯式公式，而只是乙個定義良好的函式，那麼 f(
x)=∫
x0dt
t10+1
−−−−
−√3
就滿足條件。
例2：讓我們試著計算 dd
x(∫x
0dt1
+t2)
目前這個階段，我們無法找出乙個可導的函式來表示括號內的積分。但這並不重要。根據(13)，我們立即得到 dd
x(∫x
0dt1
+t2)
=11+
x2因此在求導可以解決的時候下，沒必要一定先求積分。
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