一般地，我們把滿足
有兩名選手；
兩名選手交替對遊戲進行移動，每走一步，選手可以在（一般而言）有限的合動集合中任選一種進行移動；
對於遊戲的任何一種可能的局面，合法的移動集合只取決於這個局面本身，不取決於輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點數或者其它什麼因素；
如果輪到某名選手移動，且這個局面的合法的移動集合為空（也就是說此時無法進行移動），則這名選手負。
的模型叫做公平組合遊戲。
如果一狀態下先手玩家無法獲勝，則稱該狀態為必敗態；類似地，如果一狀態下先手玩家可以使後手玩家無法獲勝，則稱該狀態為必勝態。
根據定義，我們有：
若一狀態下，當前玩家無合法移動方案（即：合法方案集為空），則該狀態是必敗態；
若一狀態是必敗態，則它在當前玩家一合法移動後變成必勝態；
若一狀態是必勝態，則它在當前玩家一合法移動後變成必敗態。
威佐夫博弈（wythoff game）：
有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗為複雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k。兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。
那麼任給乙個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…n 方括號表示取整函式)奇妙的是其**現了**分割數（1+√5）/2 = 1.618…因此，由ak，bk組成的矩形近似為**矩形，由於2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那麼a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麼a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。
斐波那契博弈：
有一堆個數為n(n>=2)的石子，遊戲雙方輪流取石子，規則如下：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1顆；
2)之後每次可以取的石子數至少為1，至多為對手剛取的石子數的2倍。
約定取走最後乙個石子的人為贏家，求必敗態。
結論：當n為fibonacci數的時候，必敗。
f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
博弈論總結
nim遊戲，不能操作者勝。先手必勝當且僅當 1.所有石子都為1，且有偶數堆。2.至少一堆數量大於1，sg函式異或不為0 那麼對於所有的anti sg遊戲，先手必勝當且僅當 1.sg函式異或為0且不存在sg 1 2.sg函式異或不為0且至少有乙個sg 1 每一輪裡要操作所有能操作的子遊戲。nim遊戲每...
博弈論總結
本文在混沌 的部落格 題解 p2252 取石子遊戲 的基礎上創作 a和b一塊報數，每人每次報最少1個，最多報4個，看誰先報到30。這應該是最古老的關於巴什博奕的遊戲了吧。其實如果知道原理，這遊戲一點運氣成分都沒有，只和先手後手有關，比如第一次報數，a報k個數，那麼b報5 k個數，那麼b報數之後問題就...
ACM博弈論總結
常用的4個博弈論演算法 巴什博奕，威佐夫博奕，尼姆博奕，斐波那契博弈 只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取m個。最後取光者得勝。顯然，如果n m 1，那麼由於一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現了如...