博弈論小結

博弈論，今天算是告一段落了。

①博弈模型為兩個人輪流決定的非合作博弈，即兩個人輪流進行決策，並且每次都會採用最優策略。

②博弈模型必須是有限布可以完成的。

③對兩個人的規則是公平的。

p狀態（必敗態）

：前乙個選手(previous player)將取勝的位置稱為必敗點。

n狀態（必勝態）：下乙個選手(next player)將取勝的位置稱為必勝點。

①將所有終止狀態定義為p狀態

②將所有可以一步到達p狀態的點，定義為n狀態

③如果存在某個狀態，它的下一步都是n狀態，定義為p狀態

④迴圈②，③步驟一）

巴什博奕（bash game）：

只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取m個。最後取光者得勝。

判斷條件：n%（m+1)，不為零時獲勝。第一步取走n%(m+1)個，然後根據第二個人所取數目k，跟著他取走（m+1-k)個即可。二）

威佐夫博奕（wythoff game）：

有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝

判斷條件：使用(ak,bk)來表示兩個堆裡面的物品數，則p狀態滿足：ak=k*[(1+√5)/2]，bk=ak+k,(k=0,1,2,3......);

三）尼姆博奕（nimm game）簡稱nim模型：

有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。

判斷條件：使用(a1,a2,a3)來描述所處狀態，ans=a1^a2^a3，如果ans為零則為p狀態。

定理1：nim遊戲的乙個狀態(x1, x2, x3) 是p狀態，當且僅當x1+x2+x3=0。多與三個狀態一樣滿足該定理

定理的證明自己網上找。

自己的理解：nim模型，為多種情況相同處理的並，而且處理只能是取走任意顆石子

四）sprague-grundy函式（簡稱sg函式）

：有n堆石子，每次可以從第1堆石子裡取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裡取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裡取任意顆，最後取光著得勝。

首先來了解一下什麼為sg函式，對於乙個遞增有界的圖g（x,f）來說，sg函式g，是定義在x上的函式，函式值是非負整數，使得g(x)的值等於所有x的後繼的sg函式中沒有出現的最小非負整數。對於遞增有界的圖，sg函式是唯一的、有界的。所有的終止狀態x，因為f（x)是空集，所以g(x)=0.

根據定義，考慮以下三點：

如果x是終止狀態，那麼g(x)=0。

乙個狀態x，如果g(x)≠0，那麼一定存在乙個x的後繼y，使得g(y)=0。

乙個狀態x，如果g(x)=0，那麼所有x的後繼y，都有g(y)≠0。

這三句話表明，頂點x所代表的position是p-position當且僅當g(x)==0.

計算出所有情況的sg值，最後求異或g(g)=g(g1)^g(g2)^g(g3)........，當g(g)==0時為p狀態。

定理2：

設g=g1+g2+…+gn，gi的sg函式是gi，i=1, 2, …, n。那麼g的sg函式g(x1, x2, …, xn)=g1(x1)+g2(x2)+…+gn(xn)，加法表示nim和，即不進製的二進位制加法。

自己的理解：sg模型，為多種情況不同處理的並，每次都需要求一次g函式，處理可以隨便進行

5）補充：階梯博弈：n個階梯，階梯上有一些石子，要求將階梯上的石子都放到地上，操作只能是從第i個階梯取若干個石子到第i-1上

判斷條件：對只需要對奇數號碼的階梯進行nim運算即可。

先取者使狀態到p狀態，如果後面乙個人也從奇數號碼階梯取石子，則按照nim步驟操作即可，從奇數階梯到偶數階梯相當於取出石子扔掉。若從偶數號碼階梯取石子，則先取者只需要將相同的石子從個該階梯傳到下面乙個即可。

這裡有詳細介紹：

尋找必敗態——一類博弈問題的快速解法

這其實也是每類博弈題最先考慮的問題，或者突破點所在。

theory初步,對兩個定理有詳細的證明

遊戲函式

組合博弈知識彙總，這個部落格裡面有很多的補充

hdoj1846，題型①

//ac,最簡單的博弈題
#include int main()
return 0;
}

poj1067，題型②

//取石子遊戲---威佐夫博奕（wythoff game）
#include #include int main()
int k=b-a;
if(a==(int)(k*t))
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}	return 0;
}

hdoj1850，nim模型

//nim組合博弈問題
#include const int nmax=1000000+10;
int m,n[nmax];
int main()
return 0;
}//第二種解法
#include #include const int nmax=1000+10;
int a[10];
int g[nmax];
void init()
int main()	
return 0;
}

hdoj1536，再來乙個sg函式問題加深一下印象

#include #include const int mmax=105,nmax=10005;
int k,m,n;
int s[mmax],h[mmax];
int g[nmax];
bool h[nmax][mmax];//從②處可得知，二維陣列的大小。
void init()
int f(int n)
int main()
return 0;
}

poj1704，階梯博弈

/*
思路：階梯博弈
建模：將兩個棋子之間的位置數看做石子堆，棋子向左移動看做從左側石子堆向右側石子堆轉移。
所以該題可轉換成階梯博弈模型進行求解。
*/#include #include const int nmax=1010;
int t,n,p[nmax];
int cmp(const void *a,const void *b)
int main()
printf("%s\n",ans==0?"bob will win":"georgia will win");
}}

hdoj1517，尋找失敗類自己找出規律來

/*
思路：尋找失敗類
這道題是自己做出來的好興奮啊，原來wa，
通過測試特殊資料找出了程式細節處理上的錯誤
*/#include int op(long long n)
int main()
while(n>18) n=op(n);
if(n>1 && n<=9)
printf("stan wins.\n");
else
printf("ollie wins.\n");*/
//或者
while(n>18) n=op(n);//因為這裡在n=18時候會停止迴圈，邊界處理沒有明確，1<=n<=18;
if(n<=9)
printf("stan wins.\n");
else
printf("ollie wins.\n");
}	return 0;
}

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