博弈論總結

nim遊戲，不能操作者勝。

先手必勝當且僅當：

1.所有石子都為1，且有偶數堆。

2.至少一堆數量大於1，sg函式異或不為0

那麼對於所有的anti-sg遊戲，先手必勝當且僅當：

1.sg函式異或為0且不存在sg>1

2.sg函式異或不為0且至少有乙個sg>1

每一輪裡要操作所有能操作的子遊戲。（nim遊戲每一輪要從所有堆裡取石子）

由於勝負是由最後乙個結束的遊戲的勝負決定的，因此先手想讓自己能贏的遊戲盡可能的延長。

定義step

1.若u為終止狀態，則step[u]=0

2.若sg[u]=0，則step[u]=min(step[v])+1

3.若sg[u]=1，則step[u]=max(step[v])+1,sg[v]=0。

先手必勝當且僅當每個子遊戲的最大step為奇數。（step）的奇偶性等價於sg函式是否為0。

有一些翻硬幣的限制，並且每一輪操作的最右邊的硬幣一定是從正面變成反面，誰不能翻誰輸。

局面的sg值為僅有每個正面朝上的硬幣時sg函式的異或。

zjoi 染色

樹的刪邊遊戲

給定一棵有根樹，每次可以選擇一條邊刪去，把沒有根的部分扔掉，不能刪的輸。

葉子的sg為0，非葉子的sg為所有葉子的sg+1的異或。

隨便找乙個偶環，縮成乙個點；隨便找乙個奇環，縮成乙個點，再從這個點向外連乙個點。迭代進行，直到變成一棵樹，做樹上刪邊遊戲。

一類博弈問題，基於以下條件：

1.博弈者人數為兩人，雙方輪流進行決策。

2.博弈狀態（對應點）可分為兩類（狀態空間可分為兩個集合），對應二分圖兩邊（x集和y集）。任意合法的決策（對應邊）使狀態從一類跳轉到另一類。（正是由於這個性質使得問題可以用二分圖描述）

3.不可以轉移至已訪問的狀態。（不可重複訪問點）

4.無法轉移者判負。

這類問題相當於從二分圖指定起點開始輪流移動，不可重複訪問點，無法移動判負。

不妨設起點在二分圖的x集中，那麼先手只能從x集移動到y集，後手只能從y集移動到x集。一次遊戲過程對應一條路徑。若最後停留在x集且無法移動則先手負，停留在y集則後手負。

考慮該二分圖的某個最大匹配。（注意可能存在多個匹配相同的最大匹配）

若起點s∈x不屬於該最大匹配。則先手所轉移到的點y∈y一定屬於最大匹配（否則s-y是乙個匹配，與最大匹配矛盾）。後手沿著最大匹配的邊走即可，終點t（指無法從t再走一步）一定不可能在y集中（否則，若t在y集中，s-…-t為一增廣路，與最大匹配矛盾）。因此先手必敗，後手必勝。

若起點s∈x屬於該最大匹配。則將s從圖中刪除，再求圖的最大匹配。若最大匹配數不變，則s還是不屬於某最大匹配，先手必敗。否則該圖的任意最大匹配都包含s，則先手沿著最大匹配的邊走即可，根據上面的分析，先手必勝。

開始了大概要算乙個 alice 比 bob 多走幾步這樣一件事情，本質上求了乙個局面的超現實數是多少。