對於乙個平面圖而言，它是多個畫素點的組合而成的。
除去顏色，只剩下一張灰度影象；就連黑白都去掉，它就只是一堆點集的二維陣列。
只是乙個帶有顏色和座標的點集。影象變換，就是在不改變集合中點的顏色資訊的同時，去對各點的座標進行變換。
p oi
nt:(
x,y)
imag
e:s(
poin
t)tr
ansf
orm:
s0=f
(s
)\begin point &: (x, y)\\ \\ image &: (point) \\ \\ transform &: = f() \end
pointi
mage
tran
sfor
m:(
x,y)
:s(p
oint
):s0
=f(
s)其中單個點的變換
p
=x \\ y \end \right. \rightarrow p_0 = \left\ x_0 \\ y_0 \end \right. =\left\ f(x) \\ g(y) \end \right.
p=x_0 = x \pm \hat x \\ y_0 = y \pm \hat y \end \right.
x_1 \\ y_1 \end \right] = \left[ \begin x_0 \\ y_0 \end \right] + \left[ \begin \hat x \\ \hat y \end \right]
[x1y1
]=
[x0
y0
]+[x
^y^
]填充額外常數項，使用齊次方程進行表示
[ x1
y1]=
[10x
^01y
^][x
0y01
]\left[ \begin x_1 \\ y_1 \end \right] = \left[ \begin 1 &0 & \hat x \\ 0 &1 & \hat y \end \right] \left[ \begin x_0 \\ y_0 \\ 1 \end \right]
[x1y1
]=
[10
01x
^y^
]⎣⎡
x0
y01
⎦⎤
平移引數中，可變引數有兩個，為兩個自由度。
關於伸縮的話，有兩種伸縮辦法
x_1 = k_x x_0 \\ y_1 = k_y y_0 \end \right.
x_1 = k_x x_0 + \hat x\\ y_1 = k_y y_0 + \hat y \end \right. \rightarrow \left[ \begin x_1 \\ y_1 \end \right] = \left[ \begin k_x & 0 & \hat x \\ 0 & k_y & \hat y \end \right] \left[ \begin x_0 \\ y_0 \\ 1 \end \right]
假設線段長度為r &:\left\ x_0 = r\cos \\ y_0 = r \sin \end \right.\\ 並且 &:\left\ x_1 = r\cos(a+b) = r\cos a \cos b - r\sin a \sin b \\ y_1 = r\sin(a+b) = r\cos a \sin b + r \sin a \cos b \end \right.\\ 得到 &:\left\ x_1 = x_0 \cos a - y_0 \sin a \\ y_1 = x_0 \sin a + y_0 \cos a \end \right.\\ 齊次&:\left[ \begin x_1 \\ y_1 \end \right] = \left[ \begin \cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a \end \right]\left[ \begin x_0 \\ y_0 \end \right] \\ 加上平移&:\left[ \begin x_1 \\ y_1 \\ m \end \right] = \left[ \begin \cos a & -\sin a & \hat x\\ \sin a & \cos a & \hat y \end \right]\left[ \begin x_0 \\ y_0 \\ 1 \end \right] \end
假設線段長度
為r並且
得到齊次
加上平移
:x_1 \\ y_1 \\ m \end \right] = \left[ \begin a & b & c\\ d & e & f \end \right]\left[ \begin x_0 \\ y_0 \\ 1 \end \right]
⎣⎡x1
y1m
⎦⎤
=[ad
be
cf]
⎣⎡x
0y0
1⎦
⎤仿射變換和旋轉的區別可以模擬於縮放中的線性和非線性，這裡會出現比較大的變化。
其中的每個引數之間關聯不大，自由度由原來的4提公升為6，在這裡會喪失原圖的更多性質。
相較而言，之前的變換有如下性質
仿射變換之後，只遺留了保線性。
[ x1
y1m]
=[ab
cdef
ghi]
[x0y
01
]\left[ \begin x_1 \\ y_1 \\ m \end \right] = \left[ \begin a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end \right]\left[ \begin x_0 \\ y_0 \\ 1 \end \right]
⎣⎡x1
y1m
⎦⎤
=⎣⎡
adg
beh
cfi
⎦⎤⎣
⎡x0
y0
1⎦⎤
投影變換相較於之前的變換，使用的是三階的變換矩陣。
變換的效果不再侷限於2d2d
2d，3 d3d
3d變換帶有空間的透視感。但是丟失了最後的保線性。
從變換矩陣上看，總共有九個自由度，但是變換矩陣a
aa需要滿足如下條件
a at
=e
a a^t = e
aat=
e所以投影變換的自由度為8，需要四個點才能進行確定。
其中所說的自由度可以簡單的理解為變換矩陣中的未知數個數。
因為改變其中乙個，變換都會發生改變，自由度也就是改變變換方式的維度。
需要確定的點的個數，主要取決於求解變換矩陣未知數的點的個數。
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