1.1線性空間（廣義的概念）
如何證明乙個向量集合是線性空間？
1.首先問下什麼是線性空間？
2.如何表示該集合中的全部向量？
知識點1
首先我們需要知道什麼是空間？空間其實就是向量的集合，而什麼是線性空間呢？
定義了線性運算的非空集合。
線性運算指的是加法和數乘在非空集合v封閉。
定義1.1：數域：乙個對和、差、積、商運算都封閉的複數的非空集合p稱為數域。
定義1.2：設v是乙個非空的集合（矩陣、向量、多項式），如果在v中定義二元運算（加法）
v 中任意兩個元素α,β經過這個運算結果仍是v中的乙個元素，這個元素稱為α與β的和，記α + β。
在數域p與v之間定義乙個運算叫作數量乘法，即對於p中的任意數k與v中的任意乙個元素α，經過這一運算的結果仍然是v的乙個元素，稱為k與α的數量乘積，記kα。
如果上述運算滿足八律，則稱v為數域p上的線性空間。v中的元素也稱為向量（廣義的概念）。
1.加法交換律 2.加法結合律 3.0元 4.負元
5.1元 6.數乘結合律 7.分配率 8.分配率
1.非空集合v
2.數域p
3.加法和數乘運算
4。8條運算
四個要素有乙個要素發生變化，為不同的線性空間
向量空間 矩陣空間 多項式空間
知識點2
有了線性空間的概念，接下來面臨的問題就是如何表述乙個線性空間。
線性空間中的元素（元素很多），不可能通過列舉法將每個元素列舉出來，具有不可實現性。
通過線性空間中的基和座標，通過這些基和座標我們就可以表示出線性空間中所有的向量。線性空間中的基底是不唯一的。
由於線性空間的基底是不唯一的，對於同乙個元素在不同基底下座標肯定是不同的。
當知道線性空間基底與基底之間的關係，就可以知道座標與座標的關係
知識點3
有時候，我們只對線性空間的子空間感興趣。
線性子空間
p[x]裡拿出一部分多項式p[x]n，也是乙個線性空間。
矩陣空間拿出所有的對稱矩陣，也是乙個線性空間。
1.2線性變換
1.什麼叫做線性變換？
2.線性變換的表現形式？
3.對於給定的線性變換，能否找到一組基底使得線性變換的矩陣是乙個對角矩陣？
4.不同基下線性變換對應的矩陣的關係為b=p-1ap 怎樣找到矩陣p，將矩陣a變換到對角陣b？
5.並不是每乙個矩陣都能相似對角化的，相似對角化的條件是矩陣a存在n個線性無關的特徵向量，條件會不會太嚴格，所以得降低要求，使得矩陣b的形式為jordan標準型的形式。
1.3歐式空間和酉空間
歐式空間和酉空間是兩個特殊的線性空間，線性空間的基礎上新增一下性質，得到特殊的線性空間，在該空間中的向量運算可以表示模和方向。
1.線性空間只能滿足向量的一些線性運算，對於求取向量的模和方向怎麼表示？
參考部落格：1.
1 線性空間與線性變換
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