4d向量是由3d座標(x,y,z)和齊次座標w組成，寫作(x,y,z,w)。
在3d世界中為什麼需要3d的齊次座標呢？簡單地說明一下，在一維空間中的一條線段上取一點x，然後我們想轉移x的位置，那我們應該是x'=x+k，但我們能使用一維的矩陣來表示這變換嗎？不能，因為此時一維的矩陣只能讓x點伸縮。但如果變成了一維的齊次空間[k 1]就很容易地做到。同樣地，在二維空間中，某一圖形如果不使用二維的齊次座標，則只能旋轉和伸縮，確不能平移。
因此，我們在3d座標中使用齊次座標，是為了物體在矩陣變換中，除了伸縮旋轉，還能夠平移，如下運算：
既然了解了使用齊次座標的意義，我們下一步就要了解一下齊次座標w是什麼意義。設w=1，此時相當於我們把3d的座標平移搬去了w=1的平面上，4d空間的點投影到w=1平面上，齊次座標對映的3d座標是（x/w,y/w,z/w），也就是（x,y,z）。（x,y,z）在齊次空間中有無數多個點與之對應。所有點的形式是（kx,ky,kz,k），其軌跡是通過齊次空間原點的「直線」（其實每個點相當於3d的座標世界）。
當w=0時，有很大的意義，可解釋為無窮遠的「點」，其意義是描述方向。這也是平移變換的開關，當w=0時，
此時不能平移變換了。這個現象是非常有用的，因為有些向量代表「位置」，應當平移，而有些向量代表「方向」，如表面的法向量，不應該平移。從幾何意義上說，能將第一類資料當作"點"，第二類資料當作"向量"。可以通過設定w的值來控制向量的意義。
。在《directx 9.0 3d遊戲開發必成基礎》(清華大學出版社)，第一部分的「基本變換」一節中，有這麼提到
「前面我們提到講某一點的座標或某一向量的各分量放入乙個1x4的行向量v中。但是我們所關心的點和向量都是3d的！為什麼我們要使用1x4的行向量？為了使向量-矩陣乘積有意義，我們必須將3d的點或向量擴充套件為4d行向量，因為乙個1x3的行向量和乙個4x4矩陣是無法定義乘法運算的。」
接下來的一段這麼說，
「那麼我們應該如何使用第4個分量（用w表示）？將點放入乙個1x4的行向量時，我們將w分量設為1。這能夠保證點的平移變換正確進行。因為向量不含位置資訊，所以沒有對向量定義平移變換，任何企圖對向量實施平移變換的運算只能產生乙個毫無意義的向量。為了防止對向量進行平移變換，當我們將1x3向量置入1x4行向量時，將w分量置為0。」
上面的一段說明了最後乙個分量什麼時候該用0。
後面更有這麼一段文字說明，很有啟發性，
「當我們將點（x，y，z）寫作（x，y，z，1）的形式時，從技術角度，我們實際上在4d空間中用乙個4d平面（w=1）來描述3d空間。（注意：4d空間中的平面是3d的，就像3d中的平面式乙個2d空間一樣）。所以，當我們將w設為某個值時，我們便偏離了平面w=1。為了重新對映回該平面（對於我們熟悉的3d空間），我們只需將齊次向量的每個分量除以w。」
對於上面的4d到3d的所謂對映，正是齊次座標的功力所在。
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