首先在定義這幾個名詞之前，我們要知道這幾個詞：線性相關（linear independence）、基（basis）、維數（dimension）是爭對什麼量的，比如我們只會說一組向量（a bunch of vectors）線性無關或線性相關，不會說矩陣線性無關，矩陣我們只說秩，行列式等，我們會說某組向量可以作為某空間的基，不會說某個矩陣是基，另外這裡討論的維數並不是矩陣的維數，而是空間的維數。
線性相關性
假設有向量x1，x2…xn，這些向量可進行任意組合，如果有除了c1=0，c2=0，…，cn=0之外的常數向量c使得c1x1+ c2x2+…+ cnxn=0，那麼x1，x2…xn就是相關的（dependent）。定義很好理解，現在我們來看兩個例子加深對定義的理解，第乙個例子，如果向量組（a bunch of vectors）中有零向量，那麼這組向量就一定是線性相關的。我們可以認為零向量可用任何向量乘以0得到，也就是說零向量與任意向量都存在倍數關係，因此一定是相關的，也可以想象一下，我們可以用任何非零常數乘以零向量加上零乘以其他非零向量可以得到零向量，所以從定義的角度也可得到結果。第二個例子，平面內的任意三個向量一定是相關的。假設平面內有向量
生成空間（span aspace）
用一組向量（a bunch of vectors）生成乙個空間(span a space)，實際上我們前面幾篇已經不知不覺的見過這種情況：矩陣裡面有一些列向量，這些列向量的所有線性組合生成乙個列空間。所以向量生成的空間表示：這個空間包含了這些向量的所有線性組合，且這個空間是最小的。
基我們知道矩陣的各列生成列空間，但這些列可能有關，也可能無關，其實我們最關心的是這樣的一組向量：既能生成空間，本身又是無關的，這就是基的兩大特點，它包含的向量個數剛好不多不少。拿三維舉例，我們立馬都能想到的一組基就是
還是拿上面的基
假設現在已有兩個向量
矩陣的列空間c(a)和零空間n(a)維數各是多少？
我們已經知道矩陣的各個列可生成矩陣的列空間，但是注意它們不一定是列空間的基，這裡給出乙個很重要的結論，a矩陣的秩rank（a），是主列的數目，同時它也是列空間的維數。這裡很多概念容易弄錯，注意不是矩陣的維數，而是列空間的維數，同時這裡也沒有說是空間的秩，而說的是矩陣的秩，矩陣才有秩。所以如果我們知道了空間的維數，只要找到了那麼多無關的向量，那麼它們就可作為空間的基。同樣對於零空間，如果已知秩rank(a)，那麼n-r是自由變數的個數，同時它也是零空間的維數。
最後總結一下這4個概念。
線性無關（linear independence）：著眼於線性組合不為0的情況
生成（span）空間：著眼於向量所有的線性組合
基（basis）：是一組無關的向量，並能生成空間
空間維數（dimension）：表示基向量的個數
線性相關性 基 維數
mit 1，線性相關性 1 m n矩陣a中，如果a的解空間中只有零向量，則n個向量線性無關 如果a的解空間中一定含有其他非零解，則n個向量線性相關 2 m n矩陣a中，如果r n，則n個向量線性無關 如果rn，則n個向量線性相關 2，生成空間 一組向量生成向量空間的含義是這個空間包含這些向量的所有線...
線性代數導論9 線性相關性 基 維數
學習什麼是 線性相關性 線性無關 什麼是由向量組所 生成 的空間，什麼是向量空間的 基 什麼是子空間的 維數 一 知識背景 ax b，am n，其中m 二 向量組線性相關性 什麼條件下，x1,x2.xn是線性無關的？抽象定義 如果不存在結果為零向量的組合，向量組線性無關，去掉係數全部為零的情況。假設...
MIT線性代數 9 線性相關性 基 維數
線性相關的定義 給定一組向量 x1,x2,x3.xn 除了他們係數等於0相加後值為0之外，如果還存在一組數使得他們相加等於0，那麼稱這組向量線性相關，否則線性無關。也就是零空間n a 中存在非0向量則為線性無關 如果一組向量中包含0向量那麼這組向量是線性相關的，因為我門可以取任意倍的0向量，其餘向量...