向量組的線性相關性
首先要明確一點，線性相關性是只針對向量組而言的。在前面的文章中，已經大致的涉及到了線性相關性的概念，其實，本質上還是考慮的線性組合。給定乙個向量組v
vv，如果除了零向量以外，不存在一組非零的係數向量使得向量組v
vv的線性組合為零向量，那麼這個向量組v
vv中的向量就是線性無關的。線性無關的數學表達如下：c1v
1+c2
v2+c
3v3+
....
+cnv
n=0，
only
c=
0c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+....+c_nv_n=0，only\quad c=0
c1v1
+c2
v2+
c3v
3+.
...+
cnv
n=0
，onl
yc=0
如果存在一組非零的係數c
cc，使得他們線性組合得到零向量，說明向量組v
vv中的一些向量可以通過其他向量的線性組合表示出來。這些東西在教材上都有，這裡簡單的提一下。
上面是線性組合的角度，這裡再從空間的角度來看一下。例如：vc=
0，on
lyc=
0vc=0，only\quad c=0
vc=0，o
nlyc
=0上面的這種形式就是我們找零空間的形式。找到所有c
cc =0
c=0c=
0的時候才會成立，也就是零空間中只有零向量0。當線性相關的時候，那麼存在其他的非零係數使得 vc=
0vc=0
vc=0
，這時零空間中就不僅僅是零向量了。
再從矩陣的秩上來看一下，對於向量組v
vv組成的矩陣am∗
na_
am∗n
，列向量都是線性無關的，那麼當我們將這個矩陣a
aa化成簡化的行階梯形矩陣時，會發現每一列都有主元，也就是說r=n
r=nr=
n，這就是列滿秩的情況，在前面提到過列滿秩只可能出現在m≥n
m\ge n
m≥n的情況下。當線性相關的時候，顯然向量組中可以被線性組合表示的列向量不會含有主元，這時候就會出現r≤n
r\le n
r≤n，也就是含有自由變數。
生成空間
實際上，已經見過生成空間，係數矩陣的列空間就是乙個生成空間，不過生成空間是乙個更加嚴謹的概念，它僅僅是針對向量組而言的，那麼我們也可以更嚴謹一些，說：係數矩陣所包含的向量組生成的列空間。不過，對於這種嚴謹的說法，我們知道就可以了，習慣上還是使用通俗的說法。
列空間表示係數矩陣中向量組的所有線性組合所組成的集合。而生成空間也就這麼一種線性組合的概念，它表示由向量組的所有線性組合所組成的集合。不管這個向量組是線性相關還是線性無關。
基和維數
nr^n
rn，就表示n維空間。
基，我們可以想到乙個詞基底，像蓋乙個大樓，對於這個大樓空間而言，基就是這個大樓空間的框架。通過在這個框架上繼續搭建，我們可以得到這個完整的大樓。在生成空間中我們只關心向量組所有的線性組合，而不關心向量組是線性無關還是線性相關。當生成空間的這個向量組都線性無關的時候，這個向量組就可以被稱為生成空間的基。由此我們可以知道基是乙個向量組，並且基的兩個性質：1、向量組線性無關，2、向量組可以生成整個空間。
我們可以例舉集合常見的基組成的矩陣：a=[
1001
]b=[
1000
1000
1]
a=\begin1&0\\0&1\end\qquad\qquad b=\begin1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end
a=[10
01]
b=⎣⎡
100
010
001
⎦⎤
a
aa是二維空間中的基，b
bb是三維空間中的基。我們可以發現，它們都方陣。我們可以通俗的分析分析，對於n
nn維空間，其中的任意乙個向量必然有n
nn個分量，那麼基也不例外，既然其中任何乙個向量有n
nn個分量，那麼空間就有n
nn個方向，為了保證能夠在這n
nn個方向上都能夠生成（或者是線性組合得到的向量在n
nn個方向上都有分量），這就需要有n
nn個線性無關的列向量。至此，我們可以得到：對於r
nr_n
rn（即n
nn維空間），基組成的矩陣應該是n×n
n\times n
n×n的方陣；基中向量的分量的個數、基中向量的個數與空間的維數是相等的，是密切相關的。不過需要注意的一點是：基所組成的矩陣並不一定是方陣，這是由係數矩陣的列空間所決定的。
前面分析了列空間，這裡分析一下零空間，將零空間中的列向量作為係數，對係數矩陣中的列向量進行線性組合那麼得到的結果恒為0，也就是係數矩陣中的列向量線性相關，那麼我們可以認為，零空間告訴我們怎麼才能使得係數矩陣的列向量線性相關。另外，還需要注意的就是零空間的維數，空間的維數等於空間的基中列向量的個數，對於零空間也不列外。
線性代數導論9 線性相關性 基 維數
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線性代數筆記3 向量組的線性相關性
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