定理 7
n*n矩陣a是可逆的，當且僅當a行等價於i，這是，把a變成i的一系列初等行變換同時把i變成a-1
定理8設a是nn的矩陣，則下列命題是等價的，即對某一特定的a，他們同時為真或假
a a是可逆矩陣
b a等價於nn單位矩陣
c a有n個主元位置
d 方程ax=0僅有平凡解
e a的各列線性無關
f 線性變化x->ax是一對一的
g 對rn中任意b，方程ax=b至少有乙個解
h a的各列生成rn
i 線性變換x->ax 把rn映上到rn上
j 存在nn矩陣c使ca=in
k 存在nn矩陣d使ad=in
l at是可逆矩陣
這裡，如果a成立，那麼c必然成立，因為aa-1 = i，如果a沒有n個主元，那麼必然存在行全為0的情況，自然aa-1=i，就不成立了。
c成立，d必然成立。d成立，則e必然成立，因為線性無關就是ax=0只有平凡解。而d成立，根據定理，f也必然成立。f成立，則h成立。而g，h，i其實是等價的。因此g，h，i都成立。
而a成立，可以證明j成立，因為a成立，令c=a-1，所以ca=in
同理可以證明k成立。
l-則有定理：若a可逆，則at也可逆來證明成立。
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