矩陣的特徵值刻畫矩陣的奇異性、反映矩陣所有對角元素的結構、刻畫矩陣的正定性。若n
×1n ×1
非零向量
u u
作為線性變換
a' role="presentation" style="position: relative;">a
a的輸入時，所產生的輸出與輸入只相差乙個比例因子
λ λ
,即： au
=λu,
u≠0' role="presentation">au=
λu,u
≠0au
=λu,
u≠0則稱標量
λ λ
和向量u' role="presentation" style="position: relative;">u
u分別為線性變換
a a
的特徵值和特徵向量。
u' role="presentation" style="position: relative;">u
u刻畫了線性變換的固有向量特徵，而特徵值刻畫了線性變換對特定的特徵向量固有的增益。（a
−λi）
u=0 （a−
λi）u
=0
上式對非零向量u u
成立，則線性方程有非零解，說明係數行列式等於零，得： de
t(a−
λi)=
0' role="presentation">det
(a−λ
i)=0
det(
a−λi
)=0結論：
1.只要矩陣a a
有乙個特徵值為0，則de
t(a)
=0' role="presentation" style="position: relative;">det
(a)=
0det
(a)=
0，該矩陣是奇異矩陣。
2.只有零矩陣的全部特徵值為0，任何奇異的非零矩陣一定存在非零的特徵值。
Math 矩陣特徵值
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