[1. 特徵的數學意義]
我們先考察一種線性變化，例如x,y座標系的橢圓方程可以寫為x^2/a^2+y^2/b^2=1，那麼座標系關於原點做旋轉以後，橢圓方程就要發生變換。我們可以把原座標系的(x,y)乘以乙個矩陣，得到乙個新的(x',y')的表示形式，寫為運算元的形式就是(x,y)*m=(x',y')。這裡的矩陣m代表一種線性變換：拉伸，平移，旋轉。那麼，有沒有什麼樣的線性變換b(b是乙個向量)，使得變換後的結果，看起來和讓(x,y)*b像是乙個數b乘以了乙個數字m*b? 換句話說，有沒有這樣的向量b，使得矩陣a*b這樣的線性變換相當於a在向量b上面的投影m*b? 如果有，那麼b就是a的乙個特徵向量，m就是對應的乙個特徵值。乙個矩陣的特徵向量可以有很多個。特徵值可以用特徵方程求出，特徵向量可以有特徵值對應的方程組通解求出，反過來也一樣。例如，設a為3階實對稱矩陣，a1=(a,-a,1)t是ax=0的解，a2=(a,1,-a)t是(a+e)x=0的解，a≠2,則常數a=? 因為a1=(a,-a,1)t是ax=0的解,說明a1=(a,-a,1)t是a的屬於0的特徵向量，a2=(a,1,-a)t是(a+e)x=0的解，說明a2=(a,1,-a)t是a的屬於-1的特徵向量。實對稱矩陣屬於不同特徵值的特徵向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。
還是太抽象了，具體的說，求特徵向量的關係，就是把矩陣a所代表的空間，進行正交分解，使得a的向量集合可以表示為每個向量a在各個特徵向量上面的投影長度。例如a是m*n的矩陣,n>m，那麼特徵向量就是m個(因為秩最大是m)，n個行向量在每個特徵向量e上面有投影，其特徵值v就是權重。那麼每個行向量現在就可以寫為vn=(e1*v1n,e2*v2n...em*vmn)，矩陣變成了方陣。如果矩陣的秩更小，矩陣的儲存還可以壓縮。再: 由於這些投影的大小代表了a在特徵空間各個分量的投影，那麼我們可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，這樣最大限度地儲存了矩陣代表的資訊，同時可以大大降低矩陣需要儲存的維度，簡稱pca方法。
舉個例子，對於x,y平面上的乙個點(x,y)，我對它作線性變換，(x,y)*[1,0;0,-1]，分號代表矩陣的換行，那麼得到的結果就是(x,-y)，這個線性變換相當於關於橫軸x做映象。我們可以求出矩陣[1,0;0,-1]的特徵向量有兩個，[1,0]和[0,1]，也就是x軸和y軸。什麼意思呢? 在x軸上的投影，經過這個線性變換，沒有改變。在y軸上的投影，乘以了幅度係數-1，並沒有發生旋轉。兩個特徵向量說明了這個線性變換矩陣對於x軸和y軸這兩個正交基是線性不變的。對於其他的線性變換矩陣，我們也可以找到類似的，n個對稱軸，變換後的結果，關於這n個對稱軸線性不變。這n個對稱軸就是線性變換a的n個特徵向量。這就是特徵向量的物理含義所在。所以，矩陣a等價於線性變換a。
特徵值 特殊矩陣的特徵值和特徵向量
特徵值與特徵向量 2 前 言 1 今天我們來討論一類特殊矩陣的特徵值和特徵向量。秩1 矩陣的性質希望同學們還沒有完全遺忘,正好通過今天的內容帶著大家複習下。2 i 雖然今天的矩陣不是抽象矩陣,但是想通過定義法求特徵值較為麻煩。這裡我們需要做乙個轉換 ax 0有非零解說明0是a的特徵值。ii 這裡我們...
矩陣的特徵值和特徵向量
定義 線性變換是指乙個n維列向量被左乘乙個n階矩陣後得到另乙個n維列向量，它是同維向量空間中的把乙個向量線性對映成了另乙個向量。即 y ax y，x rna aij a aij n n 如果對於數 存在乙個n維零列向量x 即x rn且x 0 使得ax x 則稱數 為矩陣a的乙個特徵值，x為矩陣a對應...
矩陣的特徵值和特徵向量
特徵值是線性代數中的乙個重要概念。在數學 物理學 化學 計算機等領域有著廣泛的應用。設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax mx 成立，則稱 m 是a的乙個特徵值 characteristic value 或本徵值 eigenvalue 非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於 對...