特徵值是線性代數中的乙個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。
設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的乙個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
1. 求矩陣特徵值的方法
ax=mx，等價於求m，使得(me-a)x=0，其中e是單位矩陣，0為零矩陣。
|me-a|=0，求得的m值即為a的特徵值。|me-a| 是乙個n次多項式，它的全部根就是n階方陣a的全部特徵值，這些根有可能相重複，也有可能是複數。
如果n階矩陣a的全部特徵值為m1 m2 ... mn，則|a|=m1*m2*...*mn
同時矩陣a的跡是特徵值之和：tr（a）=m1+m2+m3+…+mn[1]
如果n階矩陣a滿足矩陣多項式方程g(a)=0, 則矩陣a的特徵值m一定滿足條件g(m)=0;特徵值m可以通過解方程g(m)=0求得。
另一種解法：
2. 意義
我們知道，矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。在這個變換的過程中，原向量主要發生旋轉、伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。
實際上，上述的一段話既講了矩陣變換特徵值及特徵向量的幾何意義（圖形變換）也講了其物理含義。物理的含義就是運動的圖景：特徵向量在乙個矩陣的作用下作伸縮運動，伸縮的幅度由特徵值確定。特徵值大於1，所有屬於此特徵值的特徵向量身形暴長；特徵值大於0小於1，特徵向量身形猛縮；特徵值小於0，特徵向量縮過了界，反方向到0點那邊去了。
源程式可參考：
特徵值 特殊矩陣的特徵值和特徵向量
特徵值與特徵向量 2 前 言 1 今天我們來討論一類特殊矩陣的特徵值和特徵向量。秩1 矩陣的性質希望同學們還沒有完全遺忘,正好通過今天的內容帶著大家複習下。2 i 雖然今天的矩陣不是抽象矩陣,但是想通過定義法求特徵值較為麻煩。這裡我們需要做乙個轉換 ax 0有非零解說明0是a的特徵值。ii 這裡我們...
矩陣的特徵值和特徵向量
定義 線性變換是指乙個n維列向量被左乘乙個n階矩陣後得到另乙個n維列向量，它是同維向量空間中的把乙個向量線性對映成了另乙個向量。即 y ax y，x rna aij a aij n n 如果對於數 存在乙個n維零列向量x 即x rn且x 0 使得ax x 則稱數 為矩陣a的乙個特徵值，x為矩陣a對應...
矩陣的特徵向量和特徵值
1.特徵的數學意義 我們先考察一種線性變化，例如x,y座標系的橢圓方程可以寫為x 2 a 2 y 2 b 2 1，那麼座標系關於原點做旋轉以後，橢圓方程就要發生變換。我們可以把原座標系的 x,y 乘以乙個矩陣，得到乙個新的 x y 的表示形式，寫為運算元的形式就是 x,y m x y 這裡的矩陣m代...