定義
線性變換是指乙個n維列向量被左乘乙個n階矩陣後得到另乙個n維列向量，它是同維向量空間中的把乙個向量線性對映成了另乙個向量。
即 y=ax(y，x∈rna=(aij)a=(aij)n×n)如果對於數λ，存在乙個n維零列向量x(即x∈rn且x≠0)，使得ax=λx 則稱數λ為矩陣a的乙個特徵值，x為矩陣a對應於λ的特徵向量。
數學意義
矩陣乘法對應了乙個變換，是把任意乙個向量變成另乙個方向或長度都大多不同的新向量。
在這個變換的過程中， 原向量主要發生旋轉、伸縮的變化。如果矩陣對某乙個向量或某些向量只發生伸縮變換，不對這些向量產生旋轉的效果，那麼這些向量就稱為這個矩陣的特徵向量，伸縮的比例就是特徵值。
對對稱矩陣而言，可以求得的特徵向量是正交的，就是把矩陣a所代表的空間，進行正交分解，使得a的向量集合可以表示為每個向量a在各個特徵向量上面的投影長度。
例如，對於x,y平面上的乙個點(x,y)，我對它作線性變換a，
a =[1 0 [1 0 * [ x = [x
0 -1], 0 -1] y] -y]
這個線性變換相當於關於橫軸x做映象。我們可以求出矩陣a的特 徵向量有兩個[1,0]和[0,1]，也就是x軸和y軸。什麼意思呢?在x軸上的投影，經過這個線性變換，沒有改變。在y軸上的投影， 乘以了幅度係數-1，並沒有發生旋轉。兩個特徵向量說明了這個線性變換矩陣對於x軸和y軸這兩個正交基是線性不變的。對於其他的線性變換矩陣，我們也可以找到類似的，n個對稱軸，變換後的結果，關於這n個對稱軸線性不變。這n個對稱軸就是線性變換a的n個特徵向量。
應用示例
用主要的特徵值對應的特徵向量代表矩陣的資訊，可以大大降低矩陣維度，如pca方法。
若矩陣不是方陣，對應的方法是svd方法。
線性變換pca可以用來處理影象。如2維的人像識別：我們把影象a看成矩陣，進一步看成線性變換矩陣，把這個訓練影象的特徵矩陣求出 來(假設取了n個能量最大的特徵向量)。用a乘以這個n個特徵向量， 得到乙個n維向量a，也就是a在特徵空間的投影。今後在識別的時候同一類的影象(例如， 來自同乙個人的面部**)，認為是a的線性相關影象，它乘以這個特徵向量，得到n個數字組成的乙個向量b，也就是b在特徵空間的投影。那麼a和b之間的距離就是我們判斷b是不是a的準則。
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