相信稍微做過一點學術研究的都不會對「np完全問題」這個概念感到陌生。它是千禧難題之首。
。簡單的寫法是 np=p？，問題就在這個問號上，到底是np等於p，還是np不等於p。
通俗地來說，有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來的。一般這種無法按部就班計算出來的問題，只能通過窮舉法等暴力的方法來解決。
對於np完全問題，有乙個經典的例子，就是旅行商問題。
假如你是乙個旅行商，需要前往5個不同的城市，當然，你希望找出前往這5個城市的最短路徑。為此，你必須計算每條可能的路徑，然後一一對比。
那麼這裡就不得不考慮乙個問題了，前往5個城市，可能的路徑有多少條呢？
為了解決這個問題，我們先來考慮只有兩個城市的情形，然後依次增加城市數量。
對於兩個城市，可供選擇的路徑有兩條，如下圖所示：
這裡可能會有一點爭議，那就是理論上來說，從a到b和從b到a應該是相同的，但是實際生活中經常會遇到單行道，所以我們在這裡認為從a到b和從b到a不同。
於是，涉及兩個城市時，可能的路線有兩條。
現在增加乙個城市，我們考慮有3個城市的情況。
此時，我們需要首先考慮從哪乙個城市出發，有3種情況，而從每個城市出發時，都有兩條不同的路線，所以總共有6條路線：
接下來是4個城市的情況。
我們依然是首先考慮從哪個城市出發，於是有4種情況，而選定了出發城市之後，便剩下3個城市，這3個城市的可能路徑為6條，所以在選定出發城市的情況下，又分別有6條不同的路徑，所以總路徑數為4*6=24條。
這裡就不詳細畫出來了。
其實這個問題不難看出來是乙個數字階乘的問題，即涉及n個城市時，可能的路徑條數為n!條。
所以前面我們提出的問題就可以有解了，即5個城市時，可能的路線有5!=1*2*3*4*5=120條！
於是，為了尋找這5個城市的最優路線，我們需要遍歷120種可能路線，然後一一對比來獲取最優路線！
如果你認為這並不是乙個多麼困難的事情，那麼試想一下如果是10個城市呢？10!=3628800。也就是說，你需要計算的可能路線超過300萬條。很明顯，這很難。
旅行商問題總結一下就是：你需要計算所有的解，並從中選出最小/最短的那乙個。為此你必須遍歷所有可能，然後一一比對。
旅行商問題就是乙個很經典的np完全問題。
還有一種很典型的np完全問題稱為集合覆蓋問題。
假設你正在為乙個虛構的橄欖球隊挑選隊員，報名的球員名單如下圖所示：
該名單無非就是各個報名選手具備的各種橄欖球技巧。
當然，為了組成一支有實力的球隊，我們不可能光挑選乙個方面的球員，自然是要挑選各個方面的優秀球員，而且由於名額有限，我們必須在已有的資源中選擇乙個最優的球員組合。
於是，我們需要列出乙個需要的橄欖球技巧清單：優秀的四分衛，優秀的跑衛，擅長雨中作戰，能承受壓力，等等等等。
在現有的報名選手中，我們根據上面列出的技巧清單來尋找乙個最優的球員組合。
面對這個問題，我們可以使用貪婪演算法來解決：
找出符合最多要求的報名選手。
不斷重複這個過程，直到球隊滿足要求或者球隊名額已滿。
很明顯，這是乙個集合覆蓋問題，根據上面的報名清單我們可以獲得以下的集合：
集合覆蓋問題也是乙個很典型的np完全問題。
既然np完全問題是多項式複雜程度的非確定性問題，簡言之就是難解決的問題，自然也是難判別的。
其實，根本沒有乙個定理來判斷乙個問題是否是np完全問題。只是，還是有很多線索可以幫助我們來做識別的。這些線索羅列如下：
NP完全問題
np完全問題是不確定性圖靈機在p時間內能解決的問題，是 世界七大數學難題 之一。np完全問題排在百萬美元大獎的首位，足見他的顯赫地位和無窮魅力。數學上著名的np問題，完整的叫法是np完全問題，也即 np complete 問題，簡單的寫法，是 np p？的問題。問題就在這個問號上，到底是np等於p，...
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