拓撲空間是最基本的，是集合+開集構成，這個空間裡沒有距離。就像人群+關係=社會一樣。距離空間=拓撲空間+距離。這個距離的**主要是定義出來的。距離空間是拓撲空間的乙個子集，也可以理解為是乙個子概念。同理向量空間又是距離空間的乙個子集，子概念。
對拓撲向量空間來說，它是乙個度量空間當且僅當其有可數區域性拓撲基（見rudin的泛函分析，對一般拓撲空間來說的充要條件還要多乙個，這就是ns度量化定理，見munkres的拓撲學）。
乙個簡單的例子，如果這個拓撲向量空間是區域性有界的，那它有可數區域性基。
拓撲向量空間是乙個範賦空間當且僅當它是區域性有界的和區域性凸的，那麼由上面的例子知道，因為範賦空間都是區域性有界的，它自然是可度量化的。
乙個內積空間必然是有範數的，只要把對自己的內積當做範數即可，反過來，乙個範賦空間如果範數滿足平行四邊形法則，就能夠定義內積。
總結下來，關係就是
內積空間有範數所以是範賦空間，範賦空間區域性有界因此有區域性基所以可度量化。
度量空間如果區域性有界且區域性凸則可成為範賦空間，範賦空間如果滿足平行四邊形法則則為內積空間。
切空間距離
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